Devoir de math´ ematiques no 9 - 1` ereS 14 mars 2012 - 1h
Exercice 1

(4 points)
Pour une comp´etition internationale, le s´electionneur doit choisir entre deux tireurs `a l’arc dont les performances sont d´efinies par les lois de probabilit´es ci-dessous.
A chaque tir dans la cible, on associe un nombre de points. Plus la fl`eche est proche du centre de la cible, plus le nombre de points est ´elev´e.
On note X et Y les variables al´eatoires donnant le nombre de points obtenus `a chaque tir respectivement par le tireur A et le tireur B.
Tireur A probabilit´e 1
0,16

2
0,15

3
0,20

4
0,25

5
0,18

10
0,06

Tireur B probabilit´e 1
0,03

2
0,1

3
0,51

4
0,21

5
0,11

10
0,04

Calculer l’esp´erance et l’´ecart type de chacune des deux variables al´eatoires.
Compte tenu de ces informations, quel tireur va choisir le s´electionneur ?

Exercice 2

(8 points)
Le coˆ ut de production d’un objet est de 950 euros.
Cet objet peut pr´esenter un d´efaut A, un d´efaut B, ou bien en mˆeme temps le d´efaut A et le d´efaut B.
La garantie permet de faire des r´eparations aux frais du fabricant avec les coˆ uts suivants :
100 euros pour le d´efaut A et 150 euros pour le d´efaut B.
On admet que 90% des objets produits n’ont aucun d´efaut, 5% ont au moins le d´efaut A, et 4% ont les deux d´efauts A et B.

1. On note X la variable al´eatoire qui, ` a chaque objet choisi au hasard, associe son prix de revient, c’est-` a-dire son coˆ ut de production augment´e du coˆ ut de r´eparation ´eventuel.
D´eterminer la loi de probabilit´e de X.
2. Calculer l’esp´erance math´ematique E(X) de cette variable al´eatoire.
Que repr´esente E(X) pour l’usine ?
3. On admet que tous les objets produits sont vendus.
(a) L’usine peut-elle esp´erer r´ealiser des b´en´efices en vendant 960 euros chaque objet vendu ?
(b) L’usine veut r´ealiser un b´en´efice moyen de 100 euros par objet.
Expliquer comment doit-on alors choisir le prix de vente de l’objet produit.

Exercice 3

(8 pts)

Une urne contient une