Enonceé bac1990(P)

Exercice1on donne

f(z) = z 3 + 2(− 3 + i ) z 2 + 4(1 − i 3 ) z + 8i

1) a) montrer que l' équation f(z) = 0 admet une solution imaginaire pur z que l' on déterminera
0
b) résoudre alors f(z) = 0 on note z et z les deux autres racines ; z celle qui
1 2
1
a une partie imaginaire négative z 2) On pose ω = 1 z 0
a) donner la forme trigonométrique de ω
b) le plan etant raporté a un repere orthonormé (O; U;V ) a tout nombre complexe z non nul on associe les ponts M; M ; M
1 2
2
d ' affixes respectives z; ω z; ω z ; montrer que OMM M est un losange
1 2

(

)

π

(2π )
2
a tout point M de (AB) on associe le point N de (AC) tel que M et N soient dans un meme demi plan de bord (BC) et BM = CN

Exercice2 Dans le plan orienté on considere un triangle ABC non isocele tel que AB; ÂC ≡

1) Montrer qu' il existe une seule rotation R telle que pour tout point M de (AB) on a R(M) = N et R(B) = C préciser une mesure de son angle et constriure son centre Ω
2) Soit O = B * C on pose f = S

(OΩ)

oR

a) déterminer f(B) et f(Ω)
b) Préciser les éléments caractéristiques de f
3) Soit I = M * N a) quel est l' ensemble D des pointd I lorsque M décrit (AB)
b) construire D

Probleme x t2
I) soit f :] - 1;1[→ IR; x a f(x) = ∫ dt 2
01 − t
1)a) Justifier l' existence de f
b) Montrer qu' il existe trois reéls α ; β et γ tels que ∀t ∈ IR - {- 1;1}

t2
1− t2

=α +

β
1− t

+

γ
1+ t

1
1+ x 
c) en déduire que ∀x ∈] − 1;1[ on a : f(x) = Log 
−x
2
1− x 
2) Etudier les variations de f et construire saz courbe C dans un repere orthoonormé (Oo; I; J ) x 3)a) Mntrer que ∀x ∈ IR * ; ∀k ∈ IN*; Logx ≤ − 1 + Logk
+
k
1
1 k+ n+
2
2
b) En déduire que ∫ Logxdx ≤ Logk et par suite ∫ Logxdx ≤ Log ( n!)
1
1 k2 2
1
1
1
c) Montrer que ∀n ∈ IN * ; Log(n!) ≥ (n + ) Log ( n + ) − n + Log 2
2
2
2
1
4) Soit (u ) la suite definie sur IN * par : u = Log(n!) - (n + ) Logn − n n n
2
1
a) Montrer