14S Pour le 20 Janvier
DEVOIR MAISON no 5
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IL EST CONSEILLÉ D’UTILISER DES LOGICIELS OU LA CALCULATRICE POUR
CONJECTURER OU VÉRIFIER.
Exercice 1
1. On donne la fonction g définie pour tout x réel par g (x) =
1
4 x3 +x +1
a. Étudier les variations de la fonction g sur R.
b. Calculer g (0) et g (−1). Démontrer que l’équation g (x) = 0 possède une unique solution
® comprise entre −1 et 0. En utilisant la calculatrice donner un encadrement de
® d’amplitude 10−2.
c. Déterminer alors le signe de g (x) sur ]−1;®] et sur [®;+1[.
2. Soit la fonction f définie pour tout réel x par f (x) =
1
16 x4 +
1
2 x2 +x −1
a. Étudier les variations de la fonction f sur R.
b. Déterminer les équations des tangentes T1 et T2 à C la courbe de f aux points d’abscisse
0 et −2.
c. Tracer C, T1 et T2 dans le même repère.
Exercice 2
Partie A
1. Résoudre dans R puis dans ]−¼;¼] :
−2sin2 x −sinx +1 = 0
2. On donne f (x) =
1
2 sin(2x)+cos x.
a. Déterminer la périodicité de la fonction f .
b. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle ]−¼;¼].
c. Construire la courbe de la fonction f sur ]−¼;¼].
Partie B
Sur une feuille de tôle rectangulaire on trace deux parallèles à l’un des côtés de façon à obtenir trois rectangles de mêmes dimensions. On relèvre les faces latérales de façon à obtenir une goutière.
On poseƒMNH= µ avec µ 2 i 0;
¼
2 h .
Calculer la valeur qu’il faut donner à µ pour que l’aire de la section MNPQ soit maximale. M N P Q a a a
M
N P
H Q a a a
Indications : Les formules suivantes pourraient être utiles : sin2x = 2cos x sinx et cos2x = cos2 x −sin2