Diagnostique bancaire de l'entreprise

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CHAPITRE 2

Aversion au risque
La th´orie de l’utilit´ de von Neumann et Morgenstern nous dit e e que l’utilit´ associ´e ` une loterie donnant un gain mon´taire x avec e e a e 1 1 probabilit´ 2 et y avec probabilit´ 2 est la moyenne entre les utilit´s de e e e x et de y. Ce que la th´orie de von Neumann et Morgenstern ne nous e dit pas, c’est comment se comparent cette utilit´ avec celle dugain e 1 e mon´taire de 1 x + 2 y. C’est ce que nous ´tudions dans ce chapitre, qui e 2 concerne les pr´f´rences de l’agent face au risque. ee Les objectifs de ce chapitre sont : – D´finir un agent averse au risque ou qui aime le risque e – Caract´riser les fonctions d’utilit´ correspondantes. e e – Etudier l’´volution du comportement face au risque avec la rie chesse. – Mesurer cet aversion aurisque ou cet amour du risque 1. Risque et utilit´s e Les gains et les pertes sont mesur´es de mani`re mon´taire. On e e e consid`re donc des loteries ` valeurs dans R, et soit P = { loteries sur e a R ` support fini }. En particulier, pour z ∈ R, δz ∈ P repr´sente la a e loterie qui donne z avec probabilit´ 1. Pour z ∈ P , e(p) est l’esp´rance e e de p. Pour f : R → R, et p ∈ P , Epz est l’esp´rance def sous p. e On se dote d’une relation de pr´f´rences rationnelle ≻ sur P ee repr´sent´e par une fonction d’utilit´ de von Neumann et Morgenstern e e e u. On caract´rise d’abord la croissance de l’utilit´ avec l’argent. e e Proposition 1. u est strictement croissante si et seulement si : δz ≻ δz′ ⇔ z > z ′ On supposera par la suite u strictement croissante. ´ Definition 2. • ≻ est averse au risquesi δe(p) p pour tout p ∈ P . • ≻ est strictement averse au risque si δe(p) ≻ p pour tout p ∈ P. • ≻ est neutre au risque si δe(p) ∼ p pour tout p ∈ P . • ≻ aime le risque si δe(p) p pour tout p ∈ P • ≻ aime strictement le risque si δe(p) ≺ p pour tout p ∈ P .
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2. AVERSION AU RISQUE

On a les caract´risations suivantes en termes de fonctions d’utilit´. e e Proposition 3. • ≻ estaverse au risque si et seulement si u est concave. • ≻ est strictement averse au risque si et seulement si u est strictement concave. • ≻ est neutre au risque si u est affine. • ≻ aime le risque si u est convexe. • ≻ aime strictement le risque si u est strictement convexe. 2. Risque et richesse Un agent plus riche aimera-t-il plus/moins le risque qu’un agent moins riche ? Deux d´finitions sont possibles :e – Un mˆme risque (en valeurs absolues) sera-t-il pris par un agent e plus riche, moins riche ? – Un mˆme risque (en valeurs relatives) sera-t-il pris par un agent e plus riche, moins riche ? 2.1. Risque absolu. On d´finit l’aversion au risque absolu en e termes de pr´f´rences avant de la caract´riser en termes d’utilit´s. ee e e ´ Definition 4. u (ou ≻) pr´sente une aversion au risque (absolu) ed´croissante [resp. croissante, resp. constante] si ∀ q ∈ P , z, w, w′ ∈ R e t.q. w′ > w : Ew+qu > u(w + z) ⇒ Ew′+qu > u(w′ + z) resp. ⇐ resp. ⇔ Dans le premier cas, si la loterie q est pr´f´r´e ` la somme z sˆre eee a u ′ lorsque la richesse est w, elle l’est aussi si la richesse est w > w. Proposition 5. Supposons u deux fois diff´rentiable. Alors u e pr´sente une aversion au risque d´croissante[resp. croissante, resp. e e constante] si et seulement si la fonction : λ=− u′′ u′

est d´croissante [resp. d´croissante, resp. constante]. e e λ s’appelle le coefficient d’aversion au risque de Arrow-Pratt. Il s’agit de la courbure de u normalis´e par la d´riv´e. e e e La proposition suivante caract´rise l’aversion pour le risque absolu e constante :

2. RISQUE ET RICHESSE

3Proposition 6. Supposons u deux fois diff´rentiable. Alors u e pr´sente une aversion au risque constante si et seulement si il existe e a > 0 et b tels que : u(z) = az + b −ae−λz + b si λ(z) ≡ 0 si λ(z) ≡ λ > 0

C’est-`-dire que les pr´f´rences sont repr´sentables par une fonction a ee e d’utilit´ u qui peut ˆtre de deux types : e e u(z) = 2.2. Risque relatif. ´ Definition 7. u (ou ≻) pr´sente une...
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