Dissert'

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Exercice 1. (10 min) Démontrer par récurrence que pour tout n différent de 0, on a :
n k =1

k =
3

n

2

k
k =1

ou encore que 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n )

2

n

Soit à démontrer par récurrence que
k =1

k =
3

n

2

k
k =1

Pn0=1 : 13 = 1²
n

On suppose que
k =1

k =
3

n

2

k
k =1

n(n + 1) , c'est-à-dire k = 2 k =1
n 32

=

n²(n + 1)² 4

n +1 k =1

k3 =

n k =1

k 3 + (n + 1)3 =

n²(n + 1)² n²(n + 1)² + 4(n + 1)3 (n + 1) 2 (n² + 4n + 4) + (n + 1)3 = = 4 4 4
2

=

(n + 1)²(n + 2)² (n + 1)(n + 2) = 4 2

=

n +1

2

k
k =1

Exercice 2. (1 heure) Juliette débute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner que de perdre la première partie. On admet que, si elle gagne unepartie, la probabilité qu'elle gagne la partie suivante est 0,6, et si elle perd une partie, la probabilité qu'elle perde la partie suivante est 0,7. On note, pour n entier naturel non nul : Gn : l'événement "Juliette gagne la nième partie". Pn : l'événement "Juliette perd la nième partie". Partie A. 1. Déterminer les probabilités p(G1) ;

pG1 (G2 ) ; pP1 (G2 ) . En déduire p(G2).

2. Calculerp(P2). Partie B. On pose pour n entier naturel non nul, xn = p(Gn) et yn = p(Pn). 1. 2. Déterminer, pour n entier naturel non nul , les probabilités : pGn ( Pn +1 ) et pPn (Gn +1 ) . Montrer que pour tout n entier naturel non nul :

xn +1 = 0,6 xn + 0,3 yn yn +1 = 0, 4 xn + 0, 7 yn
3. On pose vn = xn + yn et wn = 4xn – 3yn. a. Montrer que la suite (vn) est constante et donner son terme général. b.Montrer que la suite (wn) est géométrique et exprimer wn en fonction de n. a. Déduire de la question précédente l'expression de xn en fonction de n. b. Montrer que la suite (xn) converge et déterminer sa limite.

4.

G2/ G1 0,6 0,5 P2/ G1 0,4 G 2/ P1 0,3 P2/ P1 0,7
A1. P(G1) = 0,5 ; pG1 (G2 ) = 0, 6 ; pP1 (G2 ) = 0,3 ;
p (G2 ) = p (G1) × pG1 (G2 ) + p( P1) × pP1 (G2 ) = 0,5 × 0, 6 + 0,5 ×0,3 = 0, 45 de même : A2. p ( P2 ) = p(G1) × pG1 ( P2 ) + p ( P1) × pP1 ( P2 ) = 0,5 × 0, 4 + 0,5 × 0, 7 = 0,55 ou plus simplement 1 – 0,45 = 0,55. B1. pGn ( Pn+1 ) est la probabilité de perdre la partie n+1 sachant qu'on a gagné la précédente, soit pGn ( Pn+1 ) = 0, 4
pPn (Gn +1 ) est la probabilité de gagner la partie n+1 sachant qu'on a perdu la précédente, soit pPn (Gn +1 ) = 0,3

P1 0,5B2.

G n+ 1 / Gn 0,6 Pn+ 1 / Gn 0,4 Pn G n+ 1 / Pn 0,3 Pn+ 1/ Pn 0,7
p (Gn +1 ) = p (Gn ) × pGn (Gn +1 ) + p( Pn ) × pPn (Gn ) = xn × 0, 6 + yn × 0,3 p ( Pn+1 ) = p (Gn ) × pGn ( Pn+1 ) + p ( Pn ) × pPn ( Pn ) = xn × 0, 4 + yn × 0, 7 B3.a.
vn = xn + yn vn+1 = xn +1 + yn +1 = 0, 6 xn + 0,3 yn + 0, 4 xn + 0, 7 yn = xn + yn = vn La suite vn est constante et quel que soit n non nul, vn = v1 = 0,5+ 0,5 = 1

wn = 4 xn − 3 yn wn +1 = 4 xn+1 − 3 yn +1 = 4(0, 6 xn + 0,3 yn ) − 3(0, 4 xn + 0, 7 yn ) = (2, 4 − 1, 2) xn + (1, 2 − 2,1) yn = 1, 2 xn − 0,9 yn = 0,3(4 xn − 3 yn ) = 0,3wn w1 = 4x1 – 3y1 = 4×0,5 – 3×0,5 = 0,5 wn est une suite géométrique de raison 0,3 et de premier terme 0,5.
1 wn = w1 × (0,3) n −1 = × (0,3) n −1 (attention, le premier terme est w1) 2 B3.b. Soit à résoudre lesystème : xn + yn = 1 4 xn − 3 yn = 0,5 × (0,3)n −1 en multipliant la première ligne par 3 et en additionnant membre à membre : 7 xn = 3 + 0,5 × (0,3) n −1
xn = B4
n →+∞

3 1 + × (0,3)n −1 7 14

lim

3 1 3 + × (0,3) n −1 = car, comme 0,30 et vn >0. 3. a. Démontrer que quel que soit n de IN, b. En déduire que quel que soit n de IN :

( un + vn )

2

− 28 = ( un − vn )

2

un +1 − vn +1=

1 2 ( un − vn ) 4un +1

4. 5.

c. Conclure que quel que soit n on a un – vn ≥ 0. En s'aidant de la question 3.c., prouver que la suite (un) est décroissante et que la suite (vn) est croissante. a. Démontrer que quel que soit n de IN*,

un ≥

21 8 un +1 − vn +1 ≤

b. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que

1 2 ( un − vn ) 10 1 c. En déduire, à l'aide d'un raisonnement...
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