Exercice 1. (10 min) Démontrer par récurrence que pour tout n différent de 0, on a : n k =1

k =
3

n

2

k k =1

ou encore que 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n )

2

n

Soit à démontrer par récurrence que k =1

k =
3

n

2

k k =1

Pn0=1 : 13 = 1² n On suppose que k =1

k =
3

n

2

k k =1

n(n + 1) , c'est-à-dire k = 2 k =1 n 3

2

=

n²(n + 1)² 4

n +1 k =1

k3 =

n k =1

k 3 + (n + 1)3 =

n²(n + 1)² n²(n + 1)² + 4(n + 1)3 (n + 1) 2 (n² + 4n + 4) + (n + 1)3 = = 4 4 4
2

=

(n + 1)²(n + 2)² (n + 1)(n + 2) = 4 2

=

n +1

2

k k =1

Exercice 2. (1 heure) Juliette débute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner que de perdre la première partie. On admet que, si elle gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la partie suivante est 0,6, et si elle perd une partie, la probabilité qu'elle perde la partie suivante est 0,7. On note, pour n entier naturel non nul : Gn : l'événement "Juliette gagne la nième partie". Pn : l'événement "Juliette perd la nième partie". Partie A. 1. Déterminer les probabilités p(G1) ;

pG1 (G2 ) ; pP1 (G2 ) . En déduire p(G2).

2. Calculer p(P2). Partie B. On pose pour n entier naturel non nul, xn = p(Gn) et yn = p(Pn). 1. 2. Déterminer, pour n entier naturel non nul , les probabilités : pGn ( Pn +1 ) et pPn (Gn +1 ) . Montrer que pour tout n entier naturel non nul :

xn +1 = 0,6 xn + 0,3 yn yn +1 = 0, 4 xn + 0, 7 yn
3. On pose vn = xn + yn et wn = 4xn – 3yn. a. Montrer que la suite (vn) est constante et donner son terme général. b. Montrer que la suite (wn) est géométrique et exprimer wn en fonction de n. a. Déduire de la question précédente l'expression de xn en fonction de n. b. Montrer que la suite (xn) converge et déterminer sa limite.

4.

G2/ G1 0,6 0,5 P2/ G1 0,4 G 2/ P1 0,3 P2/ P1 0,7
A1. P(G1) = 0,5 ; pG1 (G2 ) = 0, 6 ; pP1 (G2 ) = 0,3 ; p (G2 ) = p (G1) × pG1 (G2 ) + p( P1) × pP1 (G2 ) = 0,5 × 0, 6 + 0,5 ×