Dissert

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Terminale S Pondichéry

Avril 2007

L’espace est rapporté au repère orthonormal (O ; i , j , k ) . On considère le plan P d’équation 2 x + y − 2 z + 4 = 0 et les points A de coordonnées ( 3, 2, 6 ) , B de coordonnées ( 1, 2, 4 ) et C de coordonnées ( 4, − 2, 5 ) . 1. a. Vérifier que les points A, B et C définissent un plan. b. Vérifier que ce plan est P. 2. a. Montrer que le triangle ABC estrectangle. b. Ecrire un système d’équations paramétriques de la droite ∆ passant par O et perpendiculaire au plan P. c. Soit K le projeté orthogonal de O sur P. Calculer la distance OK. d. Calculer le volume du tétraèdre OABC. 3. On considère dans cette question le système de points pondérés S = { ( O , 3 ) , ( A, 1 ) , ( B, 1 ) , ( C , 1 ) } . a. Vérifier que ce système admet un barycentre qu’onnotera G. b. On note I le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que G appartient à ( OI ) . c. Déterminer la distance de G au plan P. 4. Soit Γ l’ensemble des points M de l’espace vérifiant 3 M O + M A + M B + M C = 5 . Déterminer Γ . Quelle est la nature de l’ensemble des points communs à P et Γ ?

1. Dans cette question il est demandé au candidat d’exposer des connaissances. On supposeconnus les résultats suivants : - la composée de deux similitudes planes est une similitude plane ; - la transformation réciproque d’une similitude plane est une similitude plane ; - une similitude plane qui laisse invariants trois points non alignés du plan est l’identité du plan. Soient A, B, C trois points non alignés du plan et s et s’ deux similitudes du plan telles que :
s ( A ) = s ' A ) , s( B ) = s ' B ) , s ( C ) = s 'C ) . ( ( (

Montrer que s = s ' . 2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O ; u, v ) . La figure sera complétée au fur et à mesure. On donne les points A d’affixe 2, E d’affixe 1 + i , F d’affixe 2 + i et G d’affixe 3 + i . a. Calculer les longueurs des côtés des triangles OAG et OEF. En déduire que ces triangles sont semblables. b. Montrer queOEF est l’image de OAG par une similitude indirecte S, en déterminant l’écriture complexe de S. c. Soit h l’homothétie de centre O et de rapport
1 . On pose A ' h ( A ) et G ' h ( G ) , et on appelle I = = 2 le milieu de [EA’]. On note σ la symétrie orthogonale d’axe ( OI ) . Montrer que S = σ h .
1 D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Terminale S Pondichéry, Avril 2007Sujets de Bac

1. Dans cette question il est demandé au candidat d’exposer des connaissances. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O ; u, v ) . Soit R la rotation du plan de centre Ω , d’affixe ω et d’angle de mesure θ . L’image par R d’un point du plan est donc définie de la manière suivante : - R( Ω ) = Ω ; - pour tout point M du plan, distinct de Ω , l’image M’ de Mest définie par ΩM ' ΩM et = ( ΩM , ΩM ' = θ [ 2π ] . ) On rappelle que pour des points A et B d’affixes respectives a et b, AB = b − a et

( u, AB ) = arg ( b − a ) [ 2π ] .
Question : montrer que les affixes z et z’ d’un point quelconque M du plan et de son image M’ par la rotation R sont liées par la relation
z ' ω = eiθ ( z − ω ) . −

2. On considère les points I et B d’affixes respectivesz I = 1 + i et z B = 2 + 2i . Soit R la rotation de π centre B et d’angle de mesure .
3

a. Donner l’écriture complexe de R. b. Soit A l’image de I par R. Calculer l’affixe z A de A. c. Montrer que O, A et B sont sur un même cercle de centre I. En déduire que OAB est un triangle rectangle en A. Donner une mesure de l’angle ( OA, OB ) . d. En déduire une mesure de l’angle ( u, OA ) . 3. Soit Tla translation de vecteur IO . On pose A ' T ( A ) . = a. Calculer l’affixe z A ' de A’. b. Quelle est la nature du quadrilatère OIAA’ ? π c. Montrer que − est un argument de z A '.
12

On considère la fonction f définie sur [ 0 ; + ∞ [ par f ( x ) =

ln ( x + 3 )
x+3

.

1. Montrer que f est dérivable sur [ 0 ; + ∞ [ . Etudier le signe de sa fonction dérivée f ’, sa limite éventuelle...
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