Dissertation importante

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L’int´grale e

22 octobre 2009

´ L’INTEGRALE DES FONCTIONS CONTINUES PAR MORCEAUX SUR UN INTERVALLE
PC*2 22 octobre 2009

Introduction et conventions
Dans tout ce cours, les lettres I, J d´signent des intervalles non r´duits e e a ` un point. Les fonctions consid´r´es sont ` valeurs dans K = R ou C. ee a

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JP Barani

L’int´grale e

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JPBarani

Table des mati`res e
1 L’int´grale des fonctions continues par morceaux sur un sege ment 1.1 Fonctions de classe C n par morceaux sur un segment . . . . . 1.2 R´vision du cours de premi`re ann´e sur l’int´grale des fonce e e e tions continues par morceaux sur un segment . . . . . . . . . . 1.3 L’int´grale fonction d’une borne . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Continuit´ parmorceaux sur un intervalle quelconque . e 1.3.2 L’int´grale comme fonction d’une borne . . . . . . . . . e 1.4 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 La formule fondamentale du calcul diff´rentiel et int´gral et e e ses applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Int´gration sur un intervalle quelconque e 2.1 Int´grales impropres . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . e 2.1.1 Int´grales impropres sur un intervalle semi-ouvert . . . e 2.1.2 Int´grales impropres sur un intervalle ouvert . . . . . . e 2.1.3 Une propri´t´ s´quentielle . . . . . . . . . . . . . . . . ee e 2.1.4 Int´grales des fonctions positives . . . . . . . . . . . . e ´ 2.1.5 Etude pratique de la convergence de l’int´grale ime propre d’une fonction positive . . . . . .. . . . . . . . Plan de l’´tude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.6 Int´grales absolument convergentes . . . . . . . . . . . e 2.2 Int´grabilit´ sur un intervalle qui n’est pas forc´ment un segment e e e 2.2.1 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 2.2.2 Exemples d’int´grabilit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.3 Compl´ments . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . e 2.3.1 Utilisation d’une s´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.3.2 Int´grales convergentes fonctions d’une borne . . . . . e 3

5 5 8 12 12 15 17 17 19 19 19 21 22 23 25 25 28 29 30 34 34 34 37

L’int´grale e 2.3.3

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Int´gration des relations de comparaison (hors programme) 38 e 41 41 41 41 43 45 45 46 47 49 49 49 50 52 57 59 60 63 6366 68 81 81 82 83 85 86 87 87 89

3 Calculs d’int´grales e 3.1 Les divers types d’int´grale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.1.1 Primitives d’une fonction continue sur un intervalle . . Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tableau des primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Int´grales d´finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Cas d’unefonction continue sur un segment . . . . . . Cas d’une fonction continue par morceaux sur un segment 3.1.3 Int´grale sur un intervalle quelconque . . . . . . . . . . e 3.2 Les m´thodes g´n´rales d’int´gration . . . . . . . . . . . . . . e e e e 3.2.1 Recherche d’une primitive ` priori . . . . . . . . . . . a 3.2.2 Lin´arit´ et lin´arisation . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 3.2.3 Changementde variable . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas des primitives ou des int´grales sur des segments . e Cas des int´grales de fonctions int´grables sur un ine e tervalle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . Cas d’int´grales sur un segment dont le calcul se rae m`ne ` celui d’une int´grale impropre . . . . e a e 3.2.4 Int´gration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3 Int´grationdes fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.1 Cas d’un pˆle simple complexe . . . . . . . . . . . . . . o P (x) dx 3.3.2 Int´grales de la forme [(x−a)2 +b2 ]n o` b = 0, n ∈ N et e u P est un polynˆme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.3.3 Exemples g´n´raux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.4 Fonctions trigonom´triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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