PROPRIETE DE
PYTHAGORE
Rappel: Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.
Exemple : RST est un triangle rectangle en T donc le côté [RS] est l'hypoténuse 1. Propriété de Pythagore
a) Enoncé

Si un triangle est rectangle
Alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit. Données
ABC est un triangle rectangle en B

Conclusion
AC 2= AB 2+BC 2

Remarques importantes :
La propriété de Pythagore sert à :
Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle quand on connaît les deux autres.
Ou
A démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle. 2. Exemples
a) Calcul de l'hypoténuse

On donne MNP un triangle rectangle en N.
MN=8cm et NP=6cm.
Calculer MP

MNP est un triangle rectangle en N
[MP] est donc l'hypoténuse.
D'après la propriété de Pythagore :
MP²=MN²+NP²
MP²=8²+6²
MP²=64+36
MP²=100
MP= √ 100
MP=10
[MP] mesure 10 cm

b) Calcul de la longueur d'un côté de l'angle droit
On donne DEF un triangle rectangle en F
DE=15cm et DF=6cm. Calculer EF
(on exprimera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 0,01cm près)
DEF est un triangle rectangle en F
[DE] est l'hypoténuse
D'après le théorème de Pythagore :
DE²=DF²+EF²
15²=6²+EF²
225=36+EF²
(225=36+....)
EF²=225-36
(….=225-36)
EF²=189
EF =√ 189 (valeur exacte)
EF ~}≈13,7472.... (à la calculatrice)
EF mesure 13,75cm (arrondi à 0,01cm près) c) Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle

Soit ABC un triangle tel que :
AB=7cm ; AC=5cm ; BC=9cm
Démontrer que ce triangle n'est pas rectangle.

Dans le triangle ABC, [BC] est le plus grand côté
BC²=9²=81

AB²+AC²= 7²+5²
AB²+AC²= 49+25
AB²+AC²= 74

BC 2 ≠ AB 2+ AC 2
Donc le triangle ABC n'est pas un triangle rectangle

2. Réciproque de la propriété de
Pythagore

a) Enoncé
Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs