Dissertation

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  • Publié le : 30 novembre 2010
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Lyc´e A. Chˆtelet BCPST2 e a

ann´e 2010-2011 e

´ MATHEMATIQUES
Devoir ` rendre pour LE jour de la rentr´e a e
L’ exercice 1 se pr´sente sous forme de questions ` choix multiples. Pour cet exercice, pour chaque e a question : − si vous pensez que la seule r´ponse exacte est l’une des quatre r´ponses A, B, C ou D propos´es, e e e donnez la r´ponse sur votre copie. e − si vous pensez qu’iln’y a pas de r´ponse exacte parmi les quatre r´ponses A, B, C ou D propos´es e e e ou qu’il y en a plusieurs, donnez la r´ponse E sur votre copie. e Aucune justification n’est demand´e sur l’exercice 1. Si, pour les autres exercices, un candidat rep`re e e ce qui lui semble ˆtre une erreur d’´nonc´, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en e e e expliquant les raisons des initiativesqu’il a ´t´ amen´ ` prendre. ee ea

Exercice 1 Concours minist`re de l’´quipement (2007) e e
Un joueur de Tennis effectue une mise en jeu. Il a droit ` deux tentatives au plus. La probabilit´ pour a e 2 e e e e qu’il r´ussisse la premi`re tentative est . S’il a ´chou´, la probabilit´ pour qu’il r´ussisse la seconde e e 3 4 est de . Ce joueur participe ` une d´monstration d’entraˆ a e ınementsponsori´e par une grande marque. e 5 Il s’agit pour lui, d’effectuer 3 mises en jeu successives. Les r´sultats des mises en jeu sont suppos´s e e ind´pendants. Chaque mise en jeu r´ussie lui fait gagner un point. Ces points lui permettant d’obtenir e e des cadeaux de la marque. X d´signe la variable al´atoire ´gale au nombre de points obtenus. e e e 1. La probailit´ d’´chouer aux deux tentatives lorsd’une mise en jeu est : e e R´ponse A : e R´ponse D : e 4 8 R´ponse B : e 15 15 1 R´ponse E :autre r´ponse e e 15 R´ponse C : e 2 15

2. La probabilit´ de r´ussir une mise en jeu est : e e R´ponse A : e R´ponse D : e 8 12 R´ponse B : e 15 15 1 R´ponse E :autre r´ponse e e 15 R´ponse C : e 14 15

3. La probabilit´ que le joueur ne gagne aucun point est : e R´ponse A : e R´ponse D : e 3 15R´ponse B :0, 2 e R´ponse C : e 1 153

14 R´ponse E :autre r´ponse e e 152

Devoir 01

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Lyc´e A. Chˆtelet BCPST2 e a

ann´e 2010-2011 e

4. La probabilit´ que le joueur gagne k point(s) (k entier naturel entre 0 et 3) est : e R´ponse A : e 3! [k(3 − k)]! 14 15
k

1 15

3−k

R´ponse B : e

3 k

×

14 15

k

R´ponse C : e

1 15

3−k

14 15

k

R´ponse D :e

14k 3! k!(3 − k)! 153

R´ponse E :autre r´ponse e e

5. La probabilit´ que le joueur gagne au moins deux points est : e 142 × 17 R´ponse A : e R´ponse B : e 153 R´ponse D :1 − e 142 153 142 153 + 14 15
3

R´ponse C : e

3 × 142 153

R´ponse E :autre r´ponse e e

6. E(X) d´signant l’esp´rance math´matique de X, on a : e e e R´ponse A :E(X) = e 14 1 R´ponse B :E(X) = e 2 15 5R´ponse E :autre r´ponse e e R´ponse C :E(X) = e 14 5

R´ponse D :E(X) = 1 e

Exercice 2 Concours minist`re de l’´quipement (2007) e e
Partie A.
On d´finit la fonction g sur l’intervalle ]0; +∞[ par e g(x) = −x2 + 6 − 4 ln(x). 1. Donner la r´gularit´ de g. e e 2. Calculer et ´tudier le signe de la d´riv´e g de g. e e e ` 3. Montrer qu’il existe un unique nombre r´el α > 0 tel que g(α) = 0. A l’aidede la calculatrice e −2 ou de MATLAB, donner un encadrement ` 10 de α. a 4. En d´duire les signes de g sur l’intervalle ]0; +∞[. e

Partie B.
On d´finit la fonction f sur l’intervalle ]0; +∞[ par e x 2 ln(x) − 1 f (x) = − + 3 + . 2 x On note (C) la courbe repr´sentative de la fonction f dans un rep`re orthonormal. e e 1. Montrer que f est d´rivable sur l’intervalle ]0; +∞[ et calculer f . e 2.Dresser le tableau de variations de f (on pourra relier f et g). 3. D´terminer les asymptotes ` la courbe repr´sentative de f. On notera D la seule asymptote e a e oblique de (C). 4. D´terminer le ou les points d’intersection entre D et (C) et ´tudier la position relative de ces e e derni`res. e 5. Existe-il des points de la courbe (C) o` la tangente ` la courbe en ces points est parall`le `...
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