Dissertation

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  • Publié le : 21 janvier 2010
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En Inde, une légende vieille de 1500ans raconte comment un Brahmane (membre d' une caste religieuse) du nom de Sessa fut récompensé pour avoir inventé le jeu d'echec.
Le roi des Indes fut tantémerveillé lorque Sessa lui apprit le jeu que le roi lui proposa de chhoisir la récompense qu'il souhaitait.
Le brahmane demanda alors la quantité de grains de blé qu'il serait nécessaire pour remplir les64 cases d'un échiquier en respectant la condition suivante, chaque case doit contenir deux fois plus de grains que la précèdente sacant que la première case ne contient qu'un seul grain.

Soit: 1grain de blé sur la première case
2 grains sur la deuxième
4 grains sur la troisième (soit 2 fois 2)
8 grains sur la quatrième (Soit 2 fois 2 fois 2)
ect...

leroi accepta la demande de Sessa en se disant que celle-ci était pluto modeste.
mais lorsqu'un arithméticien résolut le problème, le roi se rendit compte que le brahmane l'avait dupé et que la quantitéde grains de blé était impossible à fournir.

1. Exprimer à l'aide d'une puissance de 2 le nombre de grains de blé contenus dabs la 4ieme case, dans la 10ieme case puis dans la 64ieme.

2. Quelest le nombre de grains de blé nécéssaires pour remplir tout l'échequier? donner le résultat comme somme de puissance de 2. On pourra utiliser des "...." pour ne pas ecrire tout les termes.

3Vérifier que les égalités suivantes sont vraies : 1+2=2 (puissance2) -1
1+2+2 (puissance2) = 2 (puissance3) -11+2+2 (puissance2)+2 (puissance3) = 2 (puissance4) -1

4. En fait, cette formule est vrai pour tout entier "n" non nul : 1+2+2(puissance2)+2(puissance3) +.....+ 2(puissance n -1) = 2(puissance n) -1

Utiliser la formule précèdente pour écrire le plus simplement possible le résultat de la question 2.

5. En utillisant la calculatrice,...
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