Dissertation
1 ) DEFINITION - REPRESENTATION GEOMETRIQUE
Définition : On appelle corps des nombres complexes, et on note C un ensemble contenant IR tel que : I 2 • Il existe dans C un élément noté i tel que i = - 1. I • Tout élément de C s'écrit sous la forme a + b i , où a et b sont des réels. I • C est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent l'addition et la multiplication de I IR, et qui suivent les mêmes règles de calcul. Nombres complexes particuliers : Soit un nombre complexe z = a + b i avec a ∈ IR et b ∈ IR . • si b = 0 , on a z = a , z est un réel. (IR est contenu dans C) I • si a = 0 , on a z = b i , on dit que z est un imaginaire pur (on dit parfois simplement imaginaire). Remarques : • • IR correspond à l'ensemble des points sur une droite. Un nombre réel x correspond au point d'abscisse x sur la droite. On peut donc toujours comparer deux nombres réels : si x et y sont des réels, on a nécessairement x ≤ y ou y ≤ x (Le point d'abscisse x se trouve, sur la droite, "avant" ou "après" le point d'abscisse y) C, ensemble des nombres a + b i avec a ∈ IR et b ∈ IR correspond à l'ensemble des points d'un plan. I Un nombre complexe a + b i avec a ∈ IR et b ∈ IR correspond au point du plan de coordonnées (a ; b). On ne peut donc pas comparer deux nombres complexes : il n'y a pas de relation d'ordre dans C. I On ne peut donc pas dire qu'un nombre complexe z est inférieur à un nombre complexe z' ou qu'un nombre complexe z est positif. Un nombre complexe sera souvent représenté par la lettre z.
Propriété L'écriture d'un nombre complexe sous la forme z = a + bi , où a et b sont des réels, est unique. Preuve : Considérons un nombre complexe z s'écrivant de deux façons : z = a + bi et z = a' + b'i , avec a , b , a' , b' réels. On a alors a + bi = a' + b'i et on en déduit a - a' = i ( b' – b ) Supposons que b ≠ b' , on aurait alors i = a - a' , b' - b Ceci n'est pas possible puisque i ∉ IR alors que a - a' ∈ IR b' - b On ne peut donc pas