Exercices - Transformation de Fourier : ´nonc´ e e ´ Fonctions integrables
Exercice 1 - Fonction triangle - Troisi`me ann´e e e
Calculer la transform´e de Fourier de la fonction triangle d´finie par : e e
  1+x 

f (x) =

si − 1 ≤ x ≤ 0 1 − x si 0 ≤ x < 1   0 sinon.

Exercice 2 - Calcul d’une transform´e de Fourier par r´solution d’une ´quation e e e diff´rentielle - L3/Math Sp´ e e En formant une ´quation diff´rentielle v´rifi´e par f , calculer la valeur de e e e e
+∞

f (x) =
0

e−t itx √ e dt. t

On rappelle que

+∞ −u2 e du 0

= π/2.

Exercice 3 - Semi-groupe de Poisson - Troisi`me ann´e e e
Pour α > 0, on pose f (x) = e−α|x| . 1. Calculer la transform´e de Fourier de f . e 2. A l’aide de la formule de r´ciprocit´, en d´duire la transform´e de Fourier de x → e e e e 3. Calculer f f ; calculer ainsi la transform´e de Fourier de x → e x . (1+x2 )2 1 . (1+x2 )2 1 . 1+x2

4. D´terminer la transform´e de Fourier de x → e e

Exercice 4 - R´gularit´ - Troisi`me ann´e e e e e
ˆ Soit f ∈ L1 (R) telle que ξ → ξ f (ξ) ∈ L1 (R). Montrer que f co¨ ıncide presque partout avec 1 sur R que l’on d´terminera. une fonction g de classe C e

Exercice 5 - - Troisi`me ann´e e e
ˆ Soit f ∈ L1 (Rn ) telle qu’il existe x0 ∈ Rn telle que f (x0 ) = 0. Montrer que l’espace vectoriel n n’est pas dense dans L1 (Rn ), o` τ f (t) = f (t − x). engendr´ par les (τx f ), x ∈ R e u x

Exercice 6 - Non-surjectivit´ de la transform´e de Fourier - Troisi`me ann´e e e e e
On sait que la transformation de Fourier est une application lin´aire continue de L1 (R) dans e l’ensemble des fonctions continues de limite nulle ` l’infini C0 (R). Le but de cet exercice est de a prouver qu’ainsi d´finie, la transform´e de Fourier n’est pas surjective, c’est-`-dire qu’il existe e e a des fonctions de C0 (R) qui ne sont pas la transform´e de Fourier d’une fonction de L1 (R). On e fixe f ∈ L1 (R), impaire. 1. Montrer que pour tout x ∈ R, on a : ˆ f (x) = −2i
0 +∞

f (t)