Dissertation

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  • Publié le : 8 décembre 2011
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Exercices - Transformation de Fourier : ´nonc´ e e ´ Fonctions integrables
Exercice 1 - Fonction triangle - Troisi`me ann´e e e
Calculer la transform´e de Fourier de la fonction triangle d´finie par : e e
  1+x 

f (x) =

si − 1 ≤ x ≤ 0 1 − x si 0 ≤ x < 1   0 sinon.

Exercice 2 - Calcul d’une transform´e de Fourier par r´solution d’une ´quation e e e
diff´rentielle - L3/Math Sp´ e eEn formant une ´quation diff´rentielle v´rifi´e par f , calculer la valeur de e e e e
+∞

f (x) =
0

e−t itx √ e dt. t

On rappelle que

+∞ −u2 e du 0

= π/2.

Exercice 3 - Semi-groupe de Poisson - Troisi`me ann´e e e
Pour α > 0, on pose f (x) = e−α|x| . 1. Calculer la transform´e de Fourier de f . e 2. A l’aide de la formule de r´ciprocit´, en d´duire la transform´e de Fourier de x →e e e e 3. Calculer f f ; calculer ainsi la transform´e de Fourier de x → e
x . (1+x2 )2 1 . (1+x2 )2 1 . 1+x2

4. D´terminer la transform´e de Fourier de x → e e

Exercice 4 - R´gularit´ - Troisi`me ann´e e e e e
ˆ Soit f ∈ L1 (R) telle que ξ → ξ f (ξ) ∈ L1 (R). Montrer que f co¨ ıncide presque partout avec 1 sur R que l’on d´terminera. une fonction g de classe C e

Exercice 5 - -Troisi`me ann´e e e
ˆ Soit f ∈ L1 (Rn ) telle qu’il existe x0 ∈ Rn telle que f (x0 ) = 0. Montrer que l’espace vectoriel n n’est pas dense dans L1 (Rn ), o` τ f (t) = f (t − x). engendr´ par les (τx f ), x ∈ R e u x

Exercice 6 - Non-surjectivit´ de la transform´e de Fourier - Troisi`me ann´e e e e e
On sait que la transformation de Fourier est une application lin´aire continue de L1 (R) dans el’ensemble des fonctions continues de limite nulle ` l’infini C0 (R). Le but de cet exercice est de a prouver qu’ainsi d´finie, la transform´e de Fourier n’est pas surjective, c’est-`-dire qu’il existe e e a des fonctions de C0 (R) qui ne sont pas la transform´e de Fourier d’une fonction de L1 (R). On e fixe f ∈ L1 (R), impaire. 1. Montrer que pour tout x ∈ R, on a : ˆ f (x) = −2i
0 +∞

f (t)sin(2πxt)dt. est d´finie, continue et born´e sur [0, +∞[. e e

2. Prouver que la fonction φ(x) =

+∞ sin u x u du

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1

Exercices - Transformation de Fourier : ´nonc´ e e
3. Montrer que l’on a :
R 1

ˆ f (t) dt = t
R

+∞

2πRx

−2if (x)
0 2πx

sin u du dx. u

+∞ ˆ f (t) f (x)φ(2πx)dx. dt = −2i R→+∞ 1 t 0 4. Soit g la fonction d´finie sur R par e arctan x g(x) =. ln(2 + x2 )

En d´duire : e

lim

(a) Montrer que g ∈ C0 (R). (b) On suppose que g est la transform´e de Fourier d’une fonction int´grable f . Montrer e e que f est n´cessairement impaire (presque partout). e (c) En d´duire que g n’est pas la transform´e de Fourier d’une fonction int´grable. e e e

Exercice 7 - Transform´e de Fourier et produit de convolution - Troisi`me ann´e e e e
1.En utilisant la transform´e de Fourier, montrer que l’alg`bre L1 (R) ne poss`de pas d’unit´, e e e e c’est-`-dire qu’il n’existe pas de fonctions g ∈ L1 (R) telle que f g = f pour tout f ∈ a L1 (R). 2. Resoudre dans L1 (R) l’´quation f f = f . e

Exercice 8 - Semi-groupe de la chaleur - Troisi`me ann´e e e
Pour t > 0, on pose qt (x) = √ d´duire que qt qs = qs+t e 1 −x2 /4t e . Calculer latransform´e de Fourier de qt . En e 4πt (la famille (qt ) s’appelle semi-groupe de la chaleur).

Exercice 9 - Une ´quation int´grale - Troisi`me ann´e e e e e
Le but de cet exercice est de rechercher des fonctions u int´grables telles que, pour tout e x ∈ R, u(x) = e−|x| + β
R

e−|x−s| u(s)ds,

o` β est un r´el strictement positif. u e 1. Ecrire cette ´quation sous forme d’une ´quation faisantintervenir un produit de convolue e tion. 2. En utilisant la transform´e de Fourier, prouver qu’il existe une solution si et seulement si e β ∈]0, 1/2[. Montrer qu’alors cette solution est unique. La d´terminer. e

Exercice 10 - Equation de la chaleur - Troisi`me ann´e e e
On consid`re une tige homog`ne tr`s mince de longueur infinie. La temp´rature de la tige e e e e au temps t ≥ 0 au...
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