Exercices - Nombres complexes : corrigé Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Exercice 1 - - L1/Math Sup On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : √ √ √ −4(1 − i 3) −4(1 − i 3) √ √ = = −1 + i 3. Z= 1+3 (1 + i 3)(1 − i 3) Pour mettre sous forme trigonométrique, on met le module en facteur : √ √ 1 3 = 2ei2π/3 . |Z| = 1 + 3 = 2, d’où Z = 2 − + 2 2 Pour calculer Z 3 , on utilise cette dernière forme et il vient Z 3 = 23 e3i2π/3 = 8.

Exercice 2 - - L1/Math Sup On a, en factorisant par l’angle moitié et en utilisant les formules d’Euler, 1 + eiθ = 2 cos(θ/2)eiθ/2 . On en déduit que |1 + z| = 2 cos(θ/2) > 0 car θ/2 ∈]0, π/2[, puis qu’un argument de 1 + z est θ/2. Pour l’autre complexe, on commence par transformer son écriture en remarquant qu’il s’agit du début d’une somme géométrique. Puisque eiθ = 1, on a 1 + z + z2 = 1 − z3 1 − e3iθ = . 1−z 1 − eiθ

En raisonnant comme précédemment, on trouve 1 + z + z2 = e3iθ/2 2i sin(3θ/2) sin(3θ/2) iθ = e . sin(θ/2) eiθ/2 2i sin(θ/2)

Il faut maintenant faire attention aux signes ! – Si θ ∈]0, 2π/3[, alors sin(3θ/2)/ sin(θ/2) > 0, et donc le module de 1 + z + z 2 est bien sin(3θ/2) sin(θ/2) , son argument est θ. – Si θ = 2π/3, 1 + z + z 2 = 0, de module nul et d’argument non défini. – Si θ ∈]2π/3, π[, alors sin(3θ/2)/ sin(θ/2) < 0, et donc on doit écrire 1 + z + z2 = − sin(3θ/2) sin(3θ/2) i(θ+π) × (−1) × eiθ = − e . sin(θ/2) sin(θ/2)

Le module dans ce cas est donc − sin(3θ/2) , et l’argument, modulo 2π, est θ + π. sin(θ/2)

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Exercices - Nombres complexes : corrigé
Exercice 3 - - L1/Math Sup On commence par passer par la forme trigonométrique : √ 2 1+i 3 =√ 1−i 2 On en déduit que √ 1+i 3 1−i
20 √ 1 + i 23 2 √ √ 2 − i 22 2

=

√ eiπ/3 √ 2 −iπ/4 = 2ei7π/12 . e

√ √ 140π 70π 5π = ( 2)20 ei 12 = 210 ei 6 = 210 ei 3 = 29 (1 − i 3).

Exercice 4 - - L1/Math Sup -√

On commence par écrire 1 + i 3 sous forme trigonométrique : √ 1 + i 3 =