Correction DM 1
Exercice 1 :
On modélise la situation en se plaçant dans un repère orthonormé. La parabole est la représentation graphique d’une fonction du second degré que nous appellerons f.

On peut envisager la situation sous deux angles :
D’après les informations de l’énoncé, ce trinôme a deux racines 0 et 160, f peut donc s’écrire sous forme factorisée : fx=a(x-0)(x-160).
On sait de plus que le sommet S de la parabole a pour ordonnée 80 et se situe sur l’axe de symétrie de la parabole d’équation x=0+1602=80, donc S(80 ;80).
On utilise le résultat f80=80 pour trouver la valeur du coefficient a. f80=a×80×80-160=80Après calcul a=-180, d’où fx=-180 x (x-160).
Pour connaître la hauteur de l’arche à 16 mètres du bord, on calcule f(16). f16= -180×16×16-160=28,8A 16m du bord, l’arche a une hauteur de 28,8m.
OU BIEN
On utilise la forme canonique avec S(80 ;80) et on obtient fx=-180 (x-80)2+80 en utilisant f(0)=0 ou f(160)=0 pour calculer a.
On obtient le même résultat en calculant f(16).
Exercice 2 :
On appelle a et b les deux réels de somme S et de produit P. S=a+b et P=ab.
On vérifie que a et b sont solutions de X2-SX+P=0 en remplaçant X par a puis b.a2-a+ba+ab=a2-a2-ab+ab=0 b2-a+bb+ab=b2-ab-b2+ab=0 CQFD
Condition nécessaire d’existence de a et b: il faut que l’équation X2-SX+P=0 admette deux solutions distinctes, c’est à dire que le discriminant soit positif. Il faut que (-S)2-4×1×P≥0.
Or S2-4P=a+b2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=a2-2ab+b2=(a-b)2qui est toujours positif ou nul.
Donc a et b existent toujours (sans condition).
Soit L et l les dimensions de ce rectangle alors L×l=195 et L+l=28 (demi-périmètre)D’après la question précédente, L et l sont alors solutions de l’équation X2-28X+195=0Δ=-282-4×1×195=4 , donc cette équation a deux solutions
L=28+22=15 et l=28-22=13Ce rectangle a pour longueur 15m et pour largeur 13m.
ALGO
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