Disserte bonheur

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Fonctions Nombre Dérivé – Fonction dérivée

Ce chapitre est le chapitre central de la classe de Terminale STG. Il permet (en partie) de clore ce qui avait été entamé dés le collège avec les fonctions affines : l’étude des fonctions. L’objectif de ce chapitre est principalement de pouvoir déterminer les variations d’une focntion sans représentation graphique ! Lorsque nous étudierons desfonctions cout ou bénéfice, nous serons alors capables de déterminer le maximum de f, son minimum, les productions rentables pour l’entreprise… et tout ca, sans aucune représentation graphique. Ce nouvel outil, la dérivation, est donc un puissant outil algébrique (c’est-à-dire lié au calcul).

Animations liées sur le site : Lire le signe, l'image... d'une fonction : ce qu’il faut savoir faire sur lesfonctions avant d’entamer le chapitre. http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/fct_lecture-graphique/index.php Traceur de courbes : vous pouvez ici tracer deux courbes et déterminer graphiquement leurs positions relatives, les coordonnées des points d’intersection… http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/outil-graphique/index.php Tangente : une animation pour comprendre un peu mieuxla notion de tangente à une courbe. http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/tangente/index.php Cours complet illustré : tout ce qu’il faut savoir et beaucoup plus que le programme de Stg. Faites uniquement les animations qui concernent votre section, à visiter en cours ou en fin de chapitre. http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/derive/index.php

Note Tous les corrigés desexercices de ce chapitre se trouvent à la fin de ce document.

-1D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Terminale STG : Cours – Fonctions – Nombres dérivés

I - Rappels sur les fonctions Les rappels seront traités à travers des exercices avec corrigés détaillés. Pour des méthodes plus précises, si nécessaire, aller consulter les cours de Seconde du site sur lesfonctions.

Exercice I-1 : Lecture graphique. On donne ci-contre la courbe représentative d’une fonction f. 1. Donner le domaine de définition de f. 2a. Déterminer graphiquement l’image de 5 par la fonction f. 2b. Déterminer, s’ils existent, les antécédents de 0. 2c. Préciser quels nombres ont pour image 5. 3. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 2, puis résoudre l’inéquation f(x) > 2. 4. Etablir letableau de variation de la fonction f. 5. Etablir le tableau de signes de la fonction f.

Exercice I-2 : Lecture graphique. Ci-dessous, C représente la fonction f et D représente la fonction g sur l’intervalle [-3 ;3]. 1. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = g(x). 2. Résoudre graphiquement l’inéquation f(x) ≥ g(x). 3. Dresser le tableau de signe de la fonction f – g. 4. Quel semble être lavaleur maximale de f – g ?

D

-2D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Terminale STG : Cours – Fonctions – Nombres dérivés

II – Premiers rappels sur les droites Avant d’aborder sereinement la notion de nombre dérivé, il est utile de faire quelques rappels sur les droites… Ne négliger pas cette partie ! Propriété. Toute droite non verticale du plan admet uneéquation du type y = mx + p où m est le coefficient directeur ou pente de la droite, et p son ordonnée à l’origine. Méthode graphique pour connaître m. → Par exemple, on peut lire graphiquement les coordonnées de deux points de la droite : si x  x  variation de y yB − y A A  A  et B  B  sont deux points de la droite, alors m = = . variation de x xB − x A  yA   yB  → On peut aussi appliquer laméthode directe suivante, en prenant n’importe quel point de la droite sur le quadrillage.
y 3 2 1

b
1 2 x

m=

variation de y b = variation de x a

-2

-1

0 -1

a
-2

Rappelons que lorsque la droite monte, sa pente m est positive ; lorsqu’elle descend, sa pente est négative ; pour une droite horizontale, la pente est nulle. Enfin, une droite verticale « a une pente infinie...
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