Dm 1 quadrature de la parabole

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DM 1

QUADRATURE DE LA PARABOLE

TS

Le plan P est muni d'un repère orthogonal (O, i , j ).

On considère la fonction ƒ, définie, sur

, par :

Le but du problème est de calculer l'aire A du domaine D suivant :

Concrètement, D est la zone située entre la courbe Cƒ de ƒ, l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équations respectives x = 0 et x = 1. (Voir figure 1)
y1

Pour calculer l'aire du domaine D, on l'encadre avec des rectangles. Un première série de rectangles (en grisés sur la figure 2), situés sous la courbe, de sorte que la somme de leurs aires soit inférieure à A. D'autres, plus grands (en blanc sur la figure 2) de sorte que la somme de leurs aires soit supérieure à A.
D

y 1

O



O

1 5

2 5

3 5

4 5

1

Largeur desrectangles :

1 5

TS DM1 : quadrature de la parabole

Page 1

£ £

£ £

D = {M(x, y) ∈ P tels que 0

  ¡ 

¢

ƒ(x) = x 2 ƒ(x)}

x

1 et 0

y



1

x

Figure 1

Figure 2

Découpe du segment [0 ; 1] en 5 tranches

x

G. COSTANTINI

1. À l'aide d'un raisonnement géométrique élémentaire, expliquer pourquoi l'aire A du domaine D vérifie :

2. À l'aide de lafigure 2, démontrer que :

3. On se propose maintenant de découper le segment [0 ; 1] en n tranches d'égales longueurs puis d'étudier ce qui se passe lorsque n tend vers +∞ (c'est-à-dire lorsque la largeur des rectangles tend vers 0) Les n tranches sont donc :
0; Ce que l'on peut noter encore 1 1 2 2 3 n −1 , ; , ; , .... , ;1 n n n n n n k k +1 ; , 0 n n

(Voir figure 3) a) À l'aide de lafigure 3, compléter le tableau suivant :
n −1 ;1 n

Tranche Hauteur des rectangles hachurés en Hauteur des rectangles hachurés en

0; 0

1 n

1 2 ; n n

des rectangles hachurés en Ainsi, on a :
 

Démontrer que pour tout n ∈

*

:

sn =

1 2 (1 + 22 + ... + k2 + ... + (n − 1)2) n3 sn = 1 n3
n −1

Ce que l'on note encore :

k =1 n

Démontrer aussi que :

Sn = sn +

11 = 3 n n
*

n

k2 =
k =1

d) En déduire la limite de la suite (Sn) et celle de la suite (sn). Conclure.

TS DM1 : quadrature de la parabole

 

c) Démontrer par récurrence que pour tout n ∈

, on a :

n(n + 1)(2n + 1) 6

Page 2

£

£

 

b) On note, pour tout n ∈

, sn la somme des aires des rectangles hachurés en . sn A Sn

£ £

£

£

6 25

£
A

A

12

11 25

k

n−1

2 3 ; n n

... ... ...

k k +1 ; n n

... ... ...

et Sn la somme des aires

k2

k2
k =1

G. COSTANTINI

y 1



Figure 3


O
1 n
2 n


k n k +1 n n−2 n n −1 n

1

x

Largeur des rectangles :

1 n

TS DM1 : quadrature de la parabole

Page 3

G. COSTANTINI

DM 1

QUADRATURE DE LA PARABOLE : CORRIGÉ

TS

1. Le domaineD est entièrement contenu dans une moitié de carré (coupé en deux suivant une diagonale). Ce carré étant de côté 1, on a donc :

2. On calcule la somme des aires des quatre rectangles grisés (on la note s5 pour avoir des notations compatibles 1 avec la question 3). Ces rectangles ont tous pour largeur . Leurs hauteurs respectives sont les images, par la 5 1 2 3 4 fonction t t2, des réels , , et, d'où : 5 5 5 5 1 1 2 6 2 2 3 2 4 2 s5 = + + + = 5 5 25 5 5 5 On calcule, de même, la somme des aires des cinq grands rectangles blancs :
 

S5 =

1 5

1 5

2

+

2 5

2

+

Comme les rectangles grisés sont entièrement contenus dans le domaine D qui, lui-même, est entièrement contenu dans les grands rectangles blancs, on a bien :

borne supérieure (pour a) On a donc :

).Tranche Hauteur des rectangles hachurés en Hauteur des rectangles hachurés en

0; 0
1 n

1 n

1 2 ; n n
1 n
2

2

2 n

2

sn =

1 n

1 n

2

+

2 n

2

+ ... +

k n

2

+ ... +

n −1 n

En factorisant par

1 dans la grande parenthèse, il vient : n2

sn =

1 2 (1 + 22 + ... + k2 + ... + (n − 1)2) 3 n

C'est-à-dire : De même, on a :

sn =

1...
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