hSup PCSI1 2010,11
A
1

Pb 11

08-02-2011

D´veloppements limit´s et d´nombrement e e e
Enonc´ tir´ d’un vieil ´crit (E.N.S.A.M. + E.S.T.P. ) e e e

question de cours donner le d´veloppement limit´ ` l’ordre n au voisinage de 0 de (1 − t)−3 : e ea • les cinq premiers coefficients seront fournis explicitement • le n-i`me sous forme symbolique aussi simple que possible ... e • ... puis sous forme d´velopp´e e e Ci dessous n ∈ N, on pose Pn (X) = (1 + X + X2 + ... + Xn−1 + Xn )3

2 a b c d

un petit exemple : n=5
On s’interesse donc ici ` P5 a indiquer son degr´, son coefficient directeur, son terme constant e calculer la somme de tous les coefficients de P5 d´terminer ses racines r´elles e e d´terminer ses racines e

3

le cas g´n´ral d´coule alors de la question de cours e e e a quand p est un entier : 0 ≤ p ≤ n, d´terminer le coefficient de Xp dans Pn e b mˆme question avec 2n ≤ p ≤ 3n (utilisez une particularit´ de Pn ) e e c † mˆme question avec n + 1 ≤ p ≤ 2n − 1 e Conseils : Ecrivez la formule correspondante pour voir quel est le probl`me : c’est une somme e de sommes de sommes avec des cas que l’on peut exprimer avec des Min d’expressions compliqu´es e que l’on peut arranger en cassant les sommes pour faire des cas .... tout cela “serait faisable si on ne se trompait pas ` chaque ligne” a Ayant abandonn´ cette m´thode directe on retourne au titre de ce § et on fait de nouveau ce e e calcul au moyen de D´veloppements Limit´s et de la Question de Cours e e

B

Agro 2001 (deux tiers)
Dans ce probl`me : e • reliez ce qu’ils nomment “polynˆmes factoriels” ` ce que l’on note o a X n

• au 2.1 il s’agit de prouver que les degr´s de (F0 , ...Fn) sont justemnt 0...n e • aux 3.2.a , 3.2.b et 3.3 remplacez les “fonctions Pascal” demand´es par des “fonctions Maple” e

Banque A et AE - 1001 MATHÉMATIQUES Épreuve C Durée : 3 heures L’usage d’une calculatrice est autori& des parties pour cette épreuve 1 et 2. Les notations de la partie

Les