DM DE MATHEMATIQUES n°2 – A rendre le 13/10/2012NOM : ……………………….PRENOM :……………………… 1er S4 | |

Exercice 1 : Résoudre dans R les équations suivantes : a) b) |-3-x|=|x-5| c) x+1=x-4 d) 2x+1=2|x-3|

Coup de pouce : On pourra utiliser la propriété « x=y équivaut à x=y ou x= -y »

Exercice 2 : Variations d’une fonction homographique. 1. Soit f la fonction définie par fx=2x+2x-4. a. Déterminer le domaine de définition de la fonction f. b. Démontrer que, pour tout réel x différent de 4, on peut écrire fx=2+10x-4. c. Déterminer les variations de x→x-4, puis de x→1x-4, puis celle de f sur l’intervalle ]4 ;+∞[.
Reprendre le même raisonnement sur l’intervalle ]-∞ ;4[. 2. Soit a, b et c des réels. Nous allons généraliser le phénomène observé dans la question 1. à une fonction de la forme gx=ax+bx-c. d. Démontrer que, pour tout réel x, différent de c, on peut écrire gx=a+ac+bx-c. e. Déterminer successivement les variations des fonctions suivantes sur l’intervalle ]c ;+∞[ : x→x-c x→1x-c x→ac+bx-c et g.
Reprendre le même raisonnement sur l’intervalle ]-∞ ;c[.

Exercice 3: Une somme particulière
On considère le nombre suivant : S = 11+2+12+3+13+4+…+199+100 . 1. Montrer que pour tout k>0, 1k+k+1=k+1-k. 2. En déduire la valeur de S. 3. Putin fais pas chier S c’est une suite sale conasse
Exercice 4 :
Soit f, g et h les fonctions définies sur [0 ;+∞[ par : fx=11+x, gx=1-x, hx=1-x+x²2. 1. Construire sur l’écran de la calculatrice (ou sur GeoGebra) les représentations graphiques Cf, Cg et Ch des fonctions f, g et h.
Zoomer sur le point de coordonnées (0 ;1). Que constate-t-on ? 2. a) Montrer que, pour tout réel x≥0, on a :fx-gx=x²1+x.
En déduire que, sur [0;+∞[, g(x)≤f(x).
b) Montrer que, pour tout réel x≥1, f(x)≤h(x).
c) Décrire les positions relatives des courbes Cf, Cg et Ch sur [0;+∞[.

Nous venons de prouver l’encadrement suivant : pour tout x≥1 ,