D.M. de mathématiques n°7: Loi binomiale

1ère S1

A rendre le mercredi 9 mai 2012 au début de l'heure

Exercice 1.
Une urne contient cinq boules numérotées de 1 à 5.
On tire au hasard, successivement et avec remise 10 boules dans l'urne. On appelle succès, lors d'un tirage, l'apparition de la boule numérotée 1.

1 VARIABLES
2 S EST_DU_TYPE NOMBRE
3 x EST_DU_TYPE NOMBRE
4 i EST_DU_TYPE NOMBRE
5 DEBUT_ALGORITHME
6 S PREND_LA_VALEUR 0
7 POUR i ALLANT_DE 1 A 10
8
DEBUT_POUR
9
x PREND_LA_VALEUR floor(1+5*random())
10
SI (x==1) ALORS
11
DEBUT_SI
12
S PREND_LA_VALEUR S+1
13
FIN_SI
14
FIN_POUR
15 AFFICHER S
16 FIN_ALGORITHME

1) Échauffement : On simule cette expérience avec le programme ci-contre (fait avec Algobox1), où random () renvoie un nombre aléatoire A tel que
0⩽ A<1. floor (x ) désigne la partie entière du nombre x c'est à dire le plus petit nombre entier inférieur ou égal à x . floor (1+5 random()) permet donc d'obtenir un nombre entier aléatoire compris entre 1 et 5 suivant une loi équirépartie.
a) Que représente la variable x ?
b) Que représente la variable S ?
c) Quel est le rôle de la variable i ?
d) Quelle est la loi de probabilité suivie par le nombre de succès? Justifier.

2) Généralisation : L'urne contient B boules numérotées de 1 à B. On tire au hasard, successivement et avec remise n boules dans l'urne. m est un nombre compris entre 1 et B et on appelle succès, lors d'un tirage, l'apparition d'une boule dont le numéro est compris entre 1 et m.
a) Écrire sur votre copie un algorithme afin de simuler cette expérience aléatoire. La variable n sera lue en entrée, les variables m et B seront initialisées au début de l’algorithme.
b) Prouvez que le nombre de succès suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
3) Application :Vous avez sûrement entendu parler du classement PISA qui évalue les systèmes d'enseignement des différents pays. Supposons que le LFJM doive envoyer aux tests PISA six élèves choisis au hasard parmi ses 240 élèves de seconde 2.