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  • Publié le : 20 novembre 2011
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Terminale S : enseignement obligatoire

(à rendre le samedi 5 novembre 2011) La qualité de la rédaction et de la présentation ainsi que la clarté des raisonnements entrent pour une part importante dans l’appréciation du devoir. Ce devoir maison peut être réalisé seul ou à deux. Dans le cas d’un travail en binôme, une copie sera remise par le groupe, et, portera les noms des deux membres.  y’= y On considère le problème différentiel (E)  .  y(0) = 1  Pour tout réel x, f ’(x) = f(x) Une solution de ce problème est une fonction f définie et dérivable sur IR telle que :  f(0) = 1 .  L’objectif de ce devoir est d’utiliser la méthode d’Euler pour construire une « solution approchée » sur différents intervalles contenant 0. I. PRESENTATION DE L’ALGORITHME D’EULER La méthode d’Eulerest un algorithme itératif. On désire tracer la courbe représentative d’une solution approchée du problème différentiel, obtenue par la méthode d’Euler avec un pas h, sur un intervalle [0 ; b] si b désigne un réel strictement positif ou b [b ; 0] si b désigne un réel strictement négatif. On considère l’entier n égal à la partie entière de . h Lorsque b > 0, x est une suite de n valeurs del’intervalle [0 ; (n – 1)h], contenu dans [0 ; b], de premier terme 0 et de pas h. Lorsque b < 0, x est une suite de n valeurs de l’intervalle [(n – 1)h ; 0], contenu dans [b ; 0], de premier terme 0 et de pas h. A partir d’une subdivision dans l’intervalle [0 ; b] ou [b ; 0], l’algorithme suivant construit une suite y qui contient les approximations obtenues par la méthode d’Euler, à savoir, yi estl’approximation de f(xi) (où i ∈ IN). ALGORITHME Algorithme d’Euler VARIABLES n, h, b : nombres réels DEBUT Saisir b. Saisir h. b n prend la valeur la partie entière de . h x prend la valeur 0. y prend la valeur 1. Pour i variant de 1 à n x prend la valeur x + h. y prend la valeur (1 + h)y. Placer le point de coordonnées (x ; y) et tracer le segment formé par le point précédent et ce nouveau point. Finpour FIN

Justification de l’algorithme : Après avoir donné l’écriture de l’approximation affine locale de la fonction f, solution du problème (E), en un réel x, justifier les affectations : « x prend la valeur x + h » et « y prend la valeur (1 + h)y » dans la boucle pour de l’algorithme.
II. REPRESENTATIONS GRAPHIQUES APPROCHEES Pour les représentations graphiques demandées, on utilisera lepapier millimétré à la fin de cet énoncé. 1. Une première représentation graphique approchée a) Tracé sur [0 ; 2] : le pas h est fixé à 0,5, donc 1 + h = 1,5. Que vaut n ? En utilisant l’algorithme précédent, compléter le tableau suivant (arrondir les valeurs approchées à 10-1) : valeur de i valeur de xi valeur approchée yi de f(xi) 0 0 1 1 2 3 4

A l’aide du tableau précédent, tracer lareprésentation graphique approchée de f sur [0 ; 2]. b) Tracé sur [-2 ; 0] : le pas h est fixé à -0,5, donc 1 + h = 0,5.Que vaut n ? En utilisant l’algorithme précédent, compléter le tableau suivant (arrondir les valeurs approchées à 10-1) : valeur de i valeur de xi valeur approchée yi de f(xi) A l’aide du tableau précédent, tracer la représentation graphique approchée de f sur [-2 ; 0].
Devoir maison 2 :Méthode d’Euler et fonction exponentielle

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2. Une seconde représentation graphique approchée a) Tracé sur [0 ; 2] : le pas h est fixé à 0,2, donc 1 + h = 1,2. Que vaut n ? En utilisant l’algorithme précédent, compléter le tableau suivant (arrondir les valeurs approchées à 10-1) : valeur de i valeur de xi valeur approchéeyi de f(xi) A l’aide du tableau précédent, tracer la représentation graphique approchée de f sur [0 ; 2]. b) Tracé sur [-2 ; 0] : le pas h est fixé à -0,2, donc 1 + h = 0,8. Que vaut n ? En utilisant l’algorithme précédent, compléter le tableau suivant (arrondir les valeurs approchées à 10-1) : valeur de i valeur de xi valeur approchée yi de f(xi) A l’aide du tableau précédent, tracer la...
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