Lundi 21 Février 2011.

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Mathématiques. 1S1 et 1S2.
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3 h.
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Calculatrice autorisée.

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EXERCICE 1. 6 points.

f est la fonction définie sur IR par f(x) = sin x (1 + cos x).
Cf est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal (O ;,).

1. a. Montrer que f est périodique de période 2. b. f estelle paire ou impaire ? c. Expliquer pourquoi on peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ; ].

2. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est définie sur IR par f’(x) = 2 cos²x + cos x 1.

3. Etude du signe de f’(x) sur [0 ; ] : a. Factoriser le polynôme 2X² + X 1 b. En déduire une factorisation de f’(x). c. Déterminer les valeurs qui annulent f’(x) sur [0 ; ]. d. Etudier le signe de f’(x) sur [0 ; ]. e. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; ].

4. Déterminer, sur l’intervalle [0 ; ], les abscisses des points d’intersection de Cf avec l’axe (O ; ).

5. a. Quelle est l’équation de la tangente (T) à Cf au point A( ; 0) ? c. Quelle est l’équation de la tangente (T’) à Cf au point O ?

6. Construire Cf sur [2 ; 2]. (ne pas oublier de construire les tangentes remarquables).

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EXERCICE 2. 7 points

OAB est un triangle isocèle tel que OA = OB = 1 et AB = 2 (radians).
H est le pied de la hauteur issue de O et K celui de la hauteur issue de A.
1. Calculer AH en fonction de . En déduire AB (en fonction de ).
2. Calculer AK (en fonction de ) a. En utilisant le triangle OAK. b. En utilisant le triangle AKB, après avoir calculé AO en fonction de . c. En déduire l 'expression de sin (2) en fonction de sin et cos . 3. Calculer, (en fonction de ) a. OK. b. KB en utilisant le triangle AKB. c. En