Correction DM 7
Exercice 1
On cherche donc une fonction f de la forme f ( x ) =ax+b telle que f ( 3 ) =17 et f ( 7 ) =33
Calcul de a : a=

f ( 3 ) − f ( 7 ) 17−33 −16
=
=
=4
3−7
−4
−4

Calcul de b : f ( 3 ) =17=4×3+b d'où b=5
On a donc f ( x ) =4 x +5 ;
Décodage :

f ( −1 ) =4×( −1 ) +5=1 ; f ( 2 ) =4×2+5=13 ; f ( 1 )=4×1+5=9 : le code est donc 1139.

Exercice 2
1) x ∈ [ 0 ;6 ]
2) a) Aire de ABM= 8 ; aire de BCM=16.
b) aire de BMC=15 pour x≈2 , 24 .
c) les deux aires sont égales pour x=3 .
3)
a) f ( x ) =

AM×AB x×8
=
=4 x ; g ( x ) =Aire de ABC− f ( x ) =24−4 x .
2
2

b) f ( 2 ) =4×2=8 et g ( 2 )=24−8=16
9
g ( x ) =15⇔ 24−4 x=15⇔ 9=4 x ⇔ x= =2 , 25 ;
4

f ( x ) =g ( x ) ⇔ 4 x=24−4 x ⇔ 24=8 x ⇔ x =3

Exercice 3 (en bonus) défi 1 : (difficile ....souvent fait mais mal expliqué ) f est une fonction affine donc de la forme f ( x ) =ax+b ;
•
f ( 1 )=a×1+b=a+b et f ( 2 ) =a×2+b=2 a+b et d'après l'énoncé on a f ( 1 )⩽ f ( 2 )
•
soit a+b⩽2 a+b soit 0⩽a . f ( 3 ) =a×3+b=3 a+b et f ( 4 )=a×4+b=4 a+b et d'après l'énoncé on a f ( 3 ) ⩾ f ( 4 )
•
soit 3 a+b⩾4 a+b soit 0⩾a
• on a donc 0⩽a⩽0 donc a=0 : f ( x ) =0× x+b=0+b=b : f est une fonction constante : pour tout réel x : f ( x )=b
• on a aussi d'après l'énoncé f ( 5 )=3 et on sait que f ( 5 )=b donc b=3
Conclusion : f est la fonction constante définie sur ℝ par f ( x ) =3 défi 2 : (très difficile....) on cherche une fonction telle que

soit
{ ff (( xf )(=ax+b x ) ) = f ( ax+b ) =a ( ax+b )+b=a x+ab+b=4 x −3
2

a 2=4 ce qui donne ab+b=−3 soit a=2 ou a=−2 , ce qui donne deux possibilités : f ( x ) =2 x−1 ou f ( x ) =−2 x+3 b=−1 b=3

{

{

{