Problème 1 :
Exercice 1 :
Les variables aléatoiressuivent toutes la même loi : et chaqueest d’espéranceet de variance. Or on sait que pour, on en déduit alors :


Exercice 2 :
Les variables aléatoiressuivent toutes la même loi : et chaqueest d’espérance.

Or on sait que, on en déduit alors :
 Exercice 3 : Alors 

On remarque ici quenous permet de savoir si le temps d’attendre est supérieur à.

Exercice 4 :
(a), ce sont les clients arrivé a l’instantet doivent attendre au minimum de l’instant

(b) 

Or on sait que lessont toutes indépendantes entre elles, alors :

On déduit de l’exercice 1 que, de l’exercice 2 avecque 

Donc on retrouve bien

(c) 

De la question 3 on a :, avec
Donc


(d) 

D’où

Exercice 5 :
(a) On sait queest les nombres de clients qui doivent patienter au minimum de l’instant Donc

(b) 

Comme lessont d’espérance finie on a :
 (c) 

, commesont d’espérance finie on a :


Exercice 6 :
On sait que.

On en déduit, l’espérance deest alors une suite convergente pour un k fixe et qui augmente lorsque k augmente car c’est une somme de terme positifs.
On sait que 


De la même manière on à

Donc, la variance deest convergente pour un k fixe et augmente lorsque k augmente car c’est une somme de terme positifs.

Exercice 7 :
Il faut comprendre par la que très tôt le matin il n’y a personne ou du moins la files d’attente sera plus courte, car plus le temps passe et plus le nombre de client s’accumule du fait que, pendant le temps de traitement d’un client au guichet, en ce même temps au moins un client aura rejoint la file d’attente.