Ducros Samuel TS3 DM5 12/01/15

Exercice 1 :

PARTIE A :

1.
On sait que , par conséquent .

donc et . On a aussi donc .

2. La dérivée de la fonction s'écrit : .
La fonction est positive sur R donc la dérivée est positive sur R et la fonction est croissante. On peut alors dresser le tableau de variations :

signe de

+

3.
Le tableau de variations nous montre que la fonction est continue strictement croissante de R dans R, par conséquent d'après le théorème des valeurs intermédiaires a une solution unique sur R.
Si l'on prend on a alors :

On en déduit donc . L'équation admet donc dans R une solution unique telle que .

4. La fonction est strictement croissante de R dans R, par conséquent quand on a , et quand on a , .

PARTIE B :

1.

On peut alors dresser le tableau de signes de :

0

-

-
0
+

-
0
+

+

+
0
-
0
+

2. On sait que donc , comme , on en déduit que .
On sait que donc , comme , on en déduit par opérations sur les limites .

3. La dérivée d'un produit s'écrit sous la forme , donc la dérivée de la fonction s'écrit :
.

Comme pour tout x, et ont le même signe. On en déduit alors le tableau de variations suivant :

x

signe de

-

+

4. a.

On a alors et .
En remplaçant par cette expression dans , on a :

.

b.
La dérivée d'un quotient s'écrit : donc la dérivée de s'écrit :

.
La dérivée s'annule quand et quand .
Pour , on a et donc . La fonction est donc croissante dans l'intervalle .

On a et donc on a

5. et donc .
La droite d d'équation y=2x-5 est donc asymptote à la courbe c en .

et . Posons

car .

Par conséquent on a : Pour , et donc cd Pour , et donc cd 6.

PARTIE C :

car appartient à l'axe des abscisses. Car appartient à la droite d. car appartient à la courbe c.

1. Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 3 on a :

2. a.
La suite est