MPSI A Lycée Hoche

Année scolaire 2015-2016

Devoir libre n◦5
A rendre pour le mardi 10/11

Exercice 1
Considérons la fonction f suivante :
R∗+ → R
1
x → 2−x + 2− x

f:

On souhaite déterminer le maximum de f sur R∗+ .
1. Montrer que f (R∗+ ) = f (]0, 1]).

2. Justifier que f est dérivable sur ]0, 1] et montrer que pour tout x ∈]0, 1], on a : f ′ (x) ≥ 0 ⇔ g(x) ≥ 0

avec g(x) =

x−

1 x ln 2 − 2 ln x.

3. Etudier les variations de g sur ]0, 1].
4. En déduire le maximum de f sur R∗+ .

Exercice 2
Notons f la fonction de la variable réelle x définie par l’expression : f (x) = arctan

x2 − 2x − 1 x2 + 2x − 1

.

1. Déterminer le domaine de définition de f ainsi que les limites de f aux bornes de ce domaine.
2. Déterminer une expression de la dérivée f ′ de f lorsqu’elle est définie. En déduire une expression simplifiée de f sur chaque intervalle de son domaine de définition.
3. Donner l’allure du graphe de f .
√
√
4. Déterminer les valeurs de arctan( 2 − 1) et arctan( 2 + 1).

Exercice 3
On considère la fonction f de la variable x définie par : f (x) = arccos

1 + sin x
2

− arcsin

1 + cos x
2

.

1. Déterminer le domaine de définition Df de f , justifier que f est continue sur son domaine.
2. Exprimer f ( π2 − x) en fonction de f (x). En déduire que le graphe de f possède une propriété de symétrie à préciser.

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3. Sur quel intervalle minimal I est-il nécessaire de faire l’étude de f ? Justifier.
4. Sur quel domaine l’application f est-elle dérivable ? Calculer f ′ sur cet ensemble.
5. Tracer la courbe représentative de f pour x variant dans [−π, π].
6. Pour tout x ∈ [0, π2 ], simplifier à l’aide de relations trigonométriques l’expression de f (x).