) une suite géométrique de raison et de premier terme u1 = 20. 4 3 a) un = u1 × qn – 1 = 20 × ( )n – 1 4 3 10 – 1 3 b) u10 = 20 × ( ) = 20 × ( )9 ≈ 1,502 4 4 3 c)

Soit (un) une suite définie pour tout entier n par : un = 3 × 5n + 1. a) un + 1 = 3 × 5n + 2 = 3 × 5n + 1 × 5 = un × 5 la suite est donc géométrique de raison q = 5 b) q = 5 > 1, la suite est donc croissante et sa limite est + ∞ car u0 > 0. c) En langage naturel, on a : ou Entrées : A un nombre entier Entrées : A un nombre entier Initialisation : Affecter à N la valeur 0 Initialisation : Affecter à N la valeur 0 Affecter à U la valeur 15 Traitement : Traitement : Tant que 3 × 5n + 1 < A faire Tant que U < A faire Affecter à N la valeur N + 1 Affecter à N la valeur N + 1 Fin Affecter à U la valeur 3 × 5n + 1 Sortie/Affichage : N Fin Sortie/Affichage : N d) On trouve N = 35, c’est-à-dire que u35 ≥ 1025 mais u34 < 1025. En effet u35 ≈ 4,4 × 1025 et u34 ≈ 8,7 × 1024. Exercice 4

Avec N = 3, P = 0 et K = 0 affiche P = 0 K = 1 affiche P = 1 K = 2 affiche P = 3 K = 3 affiche P = 6

(attention il y a un affichage à chaque étape !)

 Soit (un) une suite définie par u0 = 1 et pour tout entier n : un + 1 = 1un – 3. 2 1u – 3 = – 2,5 a) u1 = 0 2 u2 = 1u1 – 3 = – 4,25 2 b) u1 = – 2,5 u0 est différent de u2 = 1,7 u1 La suite n’est donc pas géométrique.

c) vn + 1 = un + 1 + 6 = 1un – 3 + 6 = 1un + 3 = 1(un + 6) = 1vn 2 2 2 2 1 et de premier terme v = u + 6 = 7. La suite (vn) est géométrique de raison q = 0 0 2 d) vn = v0 × qn = 7 × (1)n 2 e) lim (1)n = 0 2 car 0 < 1 < 1 2 et un = vn – 6 = 7 × (1)n – 6 2 donc lim un = 7 × 0 – 6 = – 6 n →+∞

n →+∞

1 – qnb de termes 1 – 1,05n d) v1 + v2 + … + vn = (1° terme) × = 500 × 1–q 1 – 1,05
e) u1 + u2 + … + un = 500 ×

1 – 1,05n – 400n 1 – 1,05 n tel que : somme totale gagnée ≥ 10 000 1 – 1,05n C'est-à-dire : u1 + u2 + … + un = 500 × – 400n ≥ 10 000 1 – 1,05 On peut effectuer des tests à la calculatrice : Pour n = 21, on trouve u1 + u2 + … + un ≈ 9459,63