DEVOIR D’ECONOMETRIE

EXERCICE II :

Soit un échantillon de 5 observations.
On suppose un modèle linéaire avec hétéroscédasticité de la forme σ²u[pic]= σ²X²t .
Calculons les estimations MCG de α et β et les erreurs standard correspondantes.

_Calcul des estimations MCG de α et β.

Par définition, considérons une équation spécifiée, Y[pic]= X[pic]a + u[pic].
Il y a hétéroscédasticité lorsque la matrice des erreurs Var (u)= E (u[pic] u’[pic]) est différent de σ²I c'est-à-dire lorsque les variances des erreurs ne sont pas constantes sur la première diagonale. Dans ce cas, c’est l’hypothèse stochastique selon laquelle E (u²[pic])= σ², u[pic]a une variance σ² qui est constante et finie qui est prise en défaut. Dans ces conditions, l’estimation se fait par les moindres carrés généralisés.
Supposons que la spécification Y[pic]= X[pic]a + u[pic]soit valide,

Ou Y= (6 3 12 15 4) , X= (1 1 1 1 1 ;4 1 5 8 2), a=( α β) et u= (u1 u2 u3 u4 u5).
En supposant que u tende vers un processus AR (1) , on a,

Var (u)= σ²= σ² Ω= σ²X²t ou Ω= X²t .
Par conséquent,

Ω[pic]=P’P.
Déterminons Ω[pic].

[pic] Ω= [pic][pic]

Ω[pic] = [pic][pic] L’estimateur [pic] est égal à, [pic]= (X’ Ω[pic]X) [pic]X’ΩY

On a: X’ Ω[pic]X = [pic][pic][pic] =[pic]
Determinant (X’ Ω[pic]X) = 2.5349

(X’ Ω[pic]X)[pic]= [pic]

X’ Ω[pic]Y = [pic][pic][pic] = [pic]
Par conséquent, (X’ Ω[pic]X)[pic] X’ Ω[pic]Y= [pic][pic][pic][pic][pic][pic]
On en déduit que α estimé=1.22 et β= 1.65.

Calcul des erreurs standards correspondantes.

Considérons l’équation spécifiée ci-dessus ,
Y[pic]= X[pic]a + u[pic]
En remplaçant le vecteur inconnu a par son estimateur a estimé, il est possible de définir le vecteur des résidus par, e= Y- Xa e= [pic]- [pic][pic] = [pic] On en déduit que u1=-1.3671, u2=0.1329, u3=-0.4671, u4=-0.9921 et u5=-0.8671.

EXERCICE V :
Considérons un modèle macro économique simple,
C[pic]=