Lycée Louis-Le-Grand, Paris

Samedi 14/12/2013

MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch

Devoir Surveillé 4 – Suites, Structures algébriques

La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté, la précision et la concision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
L’usage de tout document et de tout matériel électronique est interdit. Notamment, les téléphones portables doivent être éteints et rangés.
Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre

Comptez environ 45 minutes pour l’exercice 1, 1h15 pour le problème 1, 2h pour le problème 2.

Exercice –
• Un pseudo-anneau A est un ensemble muni de deux lois de composition interne notées + et ×, telles que (A, +) soit un groupe abélien, et telle que × soit associative et distributive sur +. En revanche, il n’existe pas nécessairement d’élément neutre pour la loi ×.
• Un anneau est donc un pseudo-anneau admettant un élément neutre 1A pour la loi ×.
• Une partie I de A est appelée idéal bilatère de A si I est un sous-groupe additif de (A, +), et si pour tout x ∈ I et y ∈ A, xy ∈ I et yx ∈ I.
• Le centre C(A) d’un pseudo-anneau A est : C(A) = {x ∈ A | ∀y ∈ A, xy = yx}.
• On dit qu’un pseudo-anneau A est commutatif si la loi × est commutative, ce qui revient à dire que C(A) = A.
1. Soit A un pseudo-anneau
(a) Montrer que C(A) est un sous-groupe additif de (A, +).
(b) Montrer que tout idéal bilatère I de A est un pseudo-anneau.
2. Soit A un pseudo-anneau vérifiant : ∀x ∈ A, x2 − x ∈ C(A).
(a) En considérant x + y, montrer que pour tout (x, y) ∈ A2 , xy + yx ∈ C(A).
(b) En déduire que A est commutatif.
Dans la suite, A désigne un anneau tel que pour tout x ∈