TS

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES N° 2

Mercredi 20 octobre 2010

Exercice 1 (11 points) On considère la fonction f définie sur ℝ par f  x =
4− x 3 . Sa courbe représentative, notée (C) est donnée ci-dessous. 2 x 1

Partie A Pour tout x réel, on pose g  x= x33 x 8 . 1) Etudier le comportement de g en + ∞ et – ∞. 2) Etudier le sens de variation de la fonction g. 3) Montrer que l'équation g  x =0 admet sur ℝ une unique solution notée  et donner une valeur approchée de  à 10−2 près. 4) En déduire le signe de g  x  selon les valeurs de x . Partie B 1) Etudier le comportement de f en + ∞ et – ∞. 2) a) Pour tout x réel, calculer f ' x  et vérifier que – x g x f ' x = 2  x 12 b) En déduire le sens de variation de la fonction f. On donnera le tableau complet de variation 3 3) Justifier que f  =0 . 2 En déduire un encadrement de f  . Partie C 1) Montrer qu'il existe 4 réels a, b, c et d tels que pour tout réel x, c x d f x =a xb 2 x 1 2) En déduire que (C) admet une asymptote oblique, notée (D), dont on donnera une équation. 3) Etudier la position relative de la courbe (C) et de la droite (D). 4) Compléter le graphique avec les éléments mis en évidence dans l'étude. Exercice 2 (5 points) 1 d x =  x1  − x −3 2 a) Justifier que la fonction d est dérivable sur ℝ. b) Etudier les variations de la fonction d (on ne demande pas de calculer les limites en +∞ et – ∞). 1  j 2) Dans un repère orthonormal O ; i ,  , on considère la droite  d'équation y=− x 2 et le point A(–1;5). 2  . On note M un point d'abscisse x appartenant à la droite a) Faire une figure 2 2 b) Démontrer que pour tout x de ℝ, d x =AM . On rappelle la formule : AB =  x A – x B   y A – y B  c) En déduire l'abscisse du point M de  pour lequel la distance AM est minimale. Compléter la figure. 1) Soit la fonction d définie sur ℝ par
2







2

Exercice 3 (4 points) Vrai/faux Pour chacune des propositions suivantes, jugez si elle