Devoir 10 (4h)

17/11/2010

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Calculatrices et documents ne sont pas autorisés. E XERCICE 1 On considère la fonction : f : x → 2 arctan 1−x + arcsin(2x − 1) x

Démontrer que f est constante sur son domaine de définition, et déterminer sa valeur. E XERCICE 2 On considère l’équation différentielle (non linéaire) suivante : x y − 2|y| = x 1. On introduit les deux équations différentielles suivantes : x y − 2y = x x y + 2y = x (a) ⊂ R∗ + (E + ) (E − ) (E )

i. Soit I un intervalle. Résoudre (E + ) sur I . (on pourra chercher une solution particulière sous la forme d’une fonction polynomiale de degré 1). ii. Résoudre (E + ) sur R.

(b) Reprendre rapidement la question 1a. avec (E − ). 2. (a) Soit y une solution de (E ) sur R∗ . + i. Montrer que y est strictement croissante sur R∗ . + ii. Montrer, en utilisant 1, que y n’est pas strictement positive sur R∗ . + iii. Montrer de même que y n’est pas strictement négative sur R∗ . + iv. En déduire que y s’annule une et une seule fois sur R∗ , en un certain α. + (b) Montrer que les solutions de (E ) sur R∗ sont les fonctions de la forme : +  3 3 x −α  si x ∈]0, α] 3x 2 x→ (α décrivant R∗ ) + x(x − α)   si x ∈ [α, +∞[ α (on montrera en particulier que les fonctions ainsi définies sont bien continues et dérivables en α) 3. L’équation (E ) possède-t-elle des solutions sur R ? E XERCICE 3 Soit C la courbe paramétrée d’équations : x(t ) = t t2 −1 y(t ) =

t2 t −1

1. Étudier C (on attendra la dernière question pour tracer C ). 2. Soient t 1 et t 2 deux réels différents de −1 et de 1. Établir l’équivalence :  x(t 1 ) = x(t 2 )  t 1 + t 2 = −1 y(t ) = y(t 2 ) ⇐⇒  1 t 1 t 2 = −1  t1 = t2

Lycée Dupuy de Lôme, MPSI, mathématiques

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3. En déduire que C possède un point double A et déterminer les coordonnées de A. 4. Montrer que les tangentes à C au point A sont orthogonales. 5. Tracer la courbe C . E XERCICE 4 Soit P une parabole de foyer F et de directrice