TS4

Devoir surveillé n°8

jeudi 2 mai 2002

Exercice I Un artisan est contacté à domicile par ses clients sur appel téléphonique et dispose d'un répondeur.
Quand l'artisan est absent, il branche systématiquement son répondeur. Quand il est présent, il le branche une fois sur trois.
Quand un client téléphone, il a quatre chances sur cinq d'obtenir le répondeur et une chance sur cinq d'obtenir l'artisan. On note P(E) la probabilité d'un événement E et P(E/F) la probabilité conditionnelle de E sachant F
Un client téléphone à l'artisan.
On note :
R l'événement « le client obtient le répondeur »
A l'événement « l'artisan est présent »
A l'événement contraire de A.
1° Déterminer la probabilité P(R), ainsi que les probabilités conditionnelles P(R/A) et P(R/ A ) .
2° a) Exprimer P(R) en fonction de P(R/A), P(R/ A ) et P(A),
2
4
b) En déduire l'égalité = – P(A)+ 1 et calculer la probabilité que l'artisan soit présent.
5
3
3° Un client téléphone ; il obtient le répondeur.
Déterminer la probabilité que l'artisan soit présent.

Exercice II Un gardien de but doit faire face, lors d'une démonstration, à un certain nombre de tirs directs. Les expériences précédentes conduisent à penser que
♦ s'il a arrêté le nième tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant [le (n + 1)ième ] est 0,8 ;
♦ s'il a laissé passer le nième tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est 0,6
♦ la probabilité pour qu'il arrête le premier tir est 0,7.
Dans tout l'exercice, si E est un événement, on note P(E) la probabilité de E, E l'événement contraire de E. On note P(E/F) la probabilité conditionnelle de l'événement E sachant que F est réalisé.
An est l'événement « le gardien arrête le nème tir ». On a donc P(A1) = 0,7. '
1° a) Donner, pour n > 1 , les valeurs de P(An+1/An) et P(An+1/ An ).
b) Exprimer P(An+1 ∩ An) et P(An+1 ∩ An ) en fonction de P(An) .
c) En déduire que, pour tout entier strictement positif n ≥ 1 , on a : P(An+1) = 0,2 P(An) + 0,6.
2° On pose à présent, pour n ≥ 1 , pn =