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Mathématiques – Licence sciences économiques – 2009-2010 TD 5/6/7 – ex 1/6
− (2 + λ) −2 1 −2

ex 1 a) • valeurs propres : χ M (λ) =
soit χ M (λ ) = − (2 + λ )

− 2 1− λ 1

− 2 − (2 + λ )

1− λ

−2

− 2 − (2 + λ)

– (−2)

−2

1

− 2 − (2 + λ)

+ 1×

−2

1

1− λ − 2

= – (2 + λ)( λ2 + λ − 6 ) + 2 (2λ + 6) + (3 + λ) = − λ3 − 3λ2 + 9λ + 27 = − (λ − 3)(λ + 3) 2 etSpec(M) = {–3,3}. • sous-espaces (vecteurs) propres : E λ = { X / (M – λI)X = 0} avec E λ ≠ {0}. x − 2y + z = 0   E − 3 : − 2 x + 4 y − 2z = 0 ; le système se ramène à la seule équation x – 2y + z = 0, d’où l’on  x − 2y + z = 0  x x   1 0         tire z = –x + 2y et  y  =  y  = x 0  + y1 ;  z   − x + 2y   −1  2         x  1  0         donc E − 3= vect ⁄  0  ,  1  ∞ = {  y  / x, y ∈  }.  −1  2   − x + 2y       

 − 5x − 2 y + z = 0 L1  E 3 : − 2 x − 2 y − 2z = 0 L 2 ; par L 2 , z = – (x + y) et par substitution,  x − 2 y − 5z = 0 L 3   x   1      d’où y = –2x et z = x et E 3 = vect 〈  − 2  〉 = {  − 2 x  / x ∈  }.  1   x     

0 − 6 x − 3 y =  z = − ( x + y)   6 x + 3y = 0 

b) Madmet trois vecteurs propres linéairement indépendants : elle est donc diagonalisable. ou dim E − 3 + dim E 3 = 2 + 1 = 3 = dim þ 3 ; M est diagonalisable. ou M est une matrice carrée réelle symétrique, donc elle est diagonalisable.
Il existe alors une matrice carrée inversible P d’ordre 3 telle que M = P D P −1 , avec 0 0 1 2 − 1 − 3  1 0 5      1  −1 D =  0 − 3 0  , P =  0 1 − 2  etP =  2 2 2 . 6  0 −1 2 0 3 1 1     1 −2 

c) il est classique que M −1 = (PDP −1 ) −1 = PD −1P −1 et M n = PD n P −1 .

joel gaden – SEG Lyon II

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Mathématiques – Licence sciences économiques – 2009-2010 TD 5/6/7 – ex 1/6
1 0 0  (−3) −1 0 0  − 3 0 0 − 3      1 1 −1 −1 • Or D =  0 (−3) 0  =  0 − 1 0  =  0 − 3 0  = D. 3  9 9     0  0 0 3 −1  0 0 3 0 1      3 1 1 1 Par suite, M −1 = P ( D) P −1 = PD −1P −1 et donc M −1 = M. 9 9 9

• Il vient alors M = 9 M −1 , puis M 2 = 9I ; d’où M 3 = 9M = 3 2 M, M 4 = M 3 × M = 9 M 2 = 3 I,… On formule alors l’hypothèse de récurrence suivante :
2n 2n « pour tout n ∈ ∠, M 2n = 3 I et M 2n +1 = 3 M ». 4

par suite,

2n 2n 2n + 2 M 2 n + 2 = M 2 n +1 × M = 3 M 2 = 3 × 3 2 I = 3 I 2n + 22n + 2 M 2n + 3 = M 2n + 2 × M = 3 I×M= 3 M

cqfd

 (−3) n 0 0   rem: – comme D n =  0 (−3) n 0  , on a aussi :    0 0 3n    0 0  5 1  (−3) n 2 − 1  1 0     1 n n M =  0 1 − 2  0 (−3) 0  2 2 2 . 6   1  0 0 3n   1 − 2 1 −1 2    – La formule précédente reste valide pour tout n ∈ ü .

ex 2

donc

b) •



1 2 −λ 1 3 8 4 1 5 5 a) χ M (λ) = dét(M – λI) = = ( – λ)( – λ) – = λ2 – λ – 4 3 5 5 25 5 5 −λ 5 5 1 1 1 χ M (λ ) = ( λ – 1)( λ + ) et Spec(M) = {– , 1} avec λ1 = 1 > – = λ 2 . 5 5 5 2 2  5 x + 5 y = 0 L1  1  x  E 1 :  , soit x + y = 0 et E 1 = vect 〈 X 2 =   〉 = {   / x ∈  }. 4 4 − −  −1   −x  5  x + y = 0 L2 5 5 5  2  4 − 5 x + 5 y = 0 L1  1  x  E1 :  , soit 2x – y = 0 et E1 = vect 〈 X1 =   〉 = {   /x ∈  }.  2  2x   4x−2 y = 0 L 2  5 5 

joel gaden – SEG Lyon II

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Mathématiques – Licence sciences économiques – 2009-2010 TD 5/6/7 – ex 1/6
 1 1 2 c) Soit P =   ; P est la matrice de passage de la base canonique 〈 e1 , e2 〉 de þ à la base 2 −1  〈 X1 , X 2 〉 des vecteurs propres de M ; c’est la matrice de l’application identique id 2 et donc P
þ

est inversible. Deplus P est telle que M = P ∆ P , où ∆ est la matrice diagonale des valeurs 0 1 propres de M : ∆ =  .  0 −1 5 
−1

−1

d) P

1 t * 1  −1 −2  1  −1 −1 1  1 1 1 = P =   =–   =   = P. dét P −3  −1 1 3  −2 1  3  2 −1  3
 1 1 1  1 1  1 2   1 1  =      2 −1 15  2 −1  4 3   2 −1 0  1 0 = . −3   0 − 1 5 

t

1 1  1 1  1 5 2 5  e) D...
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