Exercices de m´thodes num´riques1 e e L2 Informatique
Sophie JAN2 Septembre 2009

plupart des exercices qui suivent sont tir´s des dossiers d’exercices r´alis´s par Jean-Paul Calvi e e e les ann´es pass´es e e 2 Institut de Math´matiques, Bˆtiment 1R3, Bureau 203 - sophie.jan@math.univ-toulouse.fr - 05 61 e a 55 76 58

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Table des mati`res e
1 Interpolation polynomiale 2 Int´gration num´rique e e 3 Recherche de z´ros e 4 Syst`mes lin´aires : m´thodes directes e e e 5 Syst`mes lin´aires : m´thodes it´ratives e e e e 3 8 9 10 11

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Chapitre 1 Interpolation polynomiale

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1. On consid`re le polynˆme p d´fini par p(x) = x4 − 4x3 + 5x2 − 2x. e o e (a) Calculer p(1), p′ (1) et p′′ (1). (c) Factoriser p. 2. On consid`re les 3 polynˆmes p0 , p1 et p2 d´finis par e o e p0 (x) = 3, p1 (x) = x − 2, p2 (x) = (x − 1)2 . (b) Trouver toutes les racines de p.

3. Soient a et b 2 r´els. On consid`re le polynˆme p d´fini par p(x) = x4 + ax3 − 2x2 + bx − 3. e e o e (a) Quel est le nombre maximum de racines de p ? (b) On suppose que −1 et 3 sont racines de p. Quelles sont les valeurs de a et b ?

(b) Exprimer chaque ´l´ment de la base canonique de P2 dans cette nouvelle base. ee

(a) Montrer que la famille constitu´e des 3 polynˆmes ci-dessus est une famille libre de e o P2 .

(c) Trouver toutes les racines de p. (Indication : on pourra effectuer une division euclidienne de polynˆmes) o

o a e e e e 4. On consid`re l’ensemble P des polynˆmes (` coefficients r´els) de degr´ inf´rieur ou ´gal e ` 3 de la variable r´elle x. a e (a) Montrer que P est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions continues de R dans R. (b) Donner une base de P. (c) En d´duire la dimension de P. e

5. Algorithme de H¨rner o Soit p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an−1 xn−1 + an xn et c ∈ R. On d´finit la suite (bk )k=0,...,n e par bn = an bk = bk+1 c + ak ∀k = 0, 1, ..., n − 1. (b) D´compter le nombre d’op´rations n´cessaires pour calculer p(c). e e e 6.