Economie agricole et industrielle des usa

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Exercices de m´thodes num´riques1 e e L2 Informatique
Sophie JAN2 Septembre 2009

plupart des exercices qui suivent sont tir´s des dossiers d’exercices r´alis´s par Jean-Paul Calvi e e e les ann´es pass´es e e 2 Institut de Math´matiques, Bˆtiment 1R3, Bureau 203 - sophie.jan@math.univ-toulouse.fr - 05 61 e a 55 76 58

1 La

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Table des mati`res e
1 Interpolation polynomiale 2Int´gration num´rique e e 3 Recherche de z´ros e 4 Syst`mes lin´aires : m´thodes directes e e e 5 Syst`mes lin´aires : m´thodes it´ratives e e e e 3 8 9 10 11

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Chapitre 1 Interpolation polynomiale

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1. On consid`re le polynˆme p d´fini par p(x) = x4 − 4x3 + 5x2 − 2x. e o e (a) Calculer p(1), p′ (1) et p′′ (1). (c) Factoriser p. 2. On consid`re les 3 polynˆmes p0 , p1 et p2 d´finis par e o ep0 (x) = 3, p1 (x) = x − 2, p2 (x) = (x − 1)2 . (b) Trouver toutes les racines de p.

3. Soient a et b 2 r´els. On consid`re le polynˆme p d´fini par p(x) = x4 + ax3 − 2x2 + bx − 3. e e o e (a) Quel est le nombre maximum de racines de p ? (b) On suppose que −1 et 3 sont racines de p. Quelles sont les valeurs de a et b ?

(b) Exprimer chaque ´l´ment de la base canonique de P2 dans cette nouvellebase. ee

(a) Montrer que la famille constitu´e des 3 polynˆmes ci-dessus est une famille libre de e o P2 .

(c) Trouver toutes les racines de p. (Indication : on pourra effectuer une division euclidienne de polynˆmes) o

o a e e e e 4. On consid`re l’ensemble P des polynˆmes (` coefficients r´els) de degr´ inf´rieur ou ´gal e ` 3 de la variable r´elle x. a e (a) Montrer que P est unsous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions continues de R dans R. (b) Donner une base de P. (c) En d´duire la dimension de P. e

5. Algorithme de H¨rner o Soit p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an−1 xn−1 + an xn et c ∈ R. On d´finit la suite (bk )k=0,...,n e par bn = an bk = bk+1 c + ak ∀k = 0, 1, ..., n − 1. (b) D´compter le nombre d’op´rations n´cessaires pour calculer p(c). e e e 6.Exercice 1 du cours (a) Montrer qu’il existe une infinit´ de polynˆmes passant par les points M0 = (0, 0) et e o M1 = (1, 1). (b) Trouver 4 r´els f0 , f1 , f2 , f3 , tels qu’aucun graphe de polynˆme de P2 ne passe par e o les 4 points M0 = (−1, f0 ), M1 = (0, f1 ), M2 = (1, f2 ) et M3 = (2, f3 ). 7. Soient y−1 , y0 , y1 3 r´els et f−1 , f0 , f1 3 polynˆmes de P2 d´finis par e o e f−1 (x) = x(x − 1), f0(x) = (x + 1)(x − 1), f1 (x) = (x + 1)x. (a) Montrer que p(x) = (x − c)(bn xn−1 + bn−1 xn−2 + ... + b2 x + b1 ) + b0 .

(b) Montrer qu’il existe un et un seul p ∈ P2 tel que p(−1) = y−1 , p(0) = y0 ,

(a) Montrer que le syst`me (f−1 , f0 , f1 ) forme une base de P2 . e p(1) = y1 ,

et donner les coordonn´es de p dans la base (f−1 , f0 , f1 ). e 4

(c) Donner les coordonn´es de p dans labase canonique. e 8. Retrouver la formule d’interpolation de Lagrange de L[a0 , a1 , a2 ; f ] ` l’aide des formules a de Kramer. 9. (a) D´terminer le polynˆme d’interpolation de Lagrange de la fonction ln relativement e o aux points 1, 2, 3. (b) A l’aide de la calculatrice, comparer ln(5/2) et L[1, 2, 3; ln](5/2). 10. D´terminer le polynˆme d’interpolation de Lagrange de la fonction f : x → e o 1relati1+x

vement aux points 0, 3/4, 1. 11. Trouver une condition sur le couple (a, b) ∈ R2 pour que la proposition suivante soit vraie : quel que soit le triplet (α, β, γ) ∈ R3 il existe un unique p ∈ P2 tel que p(a) = α, p(b) = β et p(a) + p′ (b) = γ. 12. Exercice 2 du cours Montrer que pour tout r´el x, l0,1 (x) + l1,1 (x) = 1 et l0,2 (x) + l1,2 (x) + l2,2 (x) = 1. e 13. Exercice 3 du coursPour tout n ∈ N, on d´finit pour tout x ∈ R, Mn (x) = xn . e (a) D´terminer, pour tout n ∈ N, L[−1, 0, 1; Mn ]. e (b) En d´duire, pour tout polynˆme p, une formule pour L[−1, 0, 1; p] en fonction des e o coefficients de p. 14. Algorithme de Neville-Aitken e e Soit A = {a0 , a1 , ..., ad } un ensemble de d + 1 r´els distincts. On d´finit une famille de polynˆmes pi,m par r´currence de la mani`re...
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