Travaux Dirigés
Mathématiques – S3

Algèbre linéaire
&
Calcul Matriciel

Partie 1
Exercice 3

Exercice 3
L’espace vectoriel considéré dans cet exercice est :

E

3
= IR

Exercice 3
1) Soit u un vecteur de

forme :

F1 , u est de la

u(x,y,z) avec :

2x  yz 0
 z 2x  y

Exercice 3
1) Un vecteur u de F peut donc s’écrire :

1

u (x,y,2x  y)
On peut décomposer u de la manière suivante :

u (x,0,2x)(0,y,y)
Donc :

u  x(1,0,2) y(0,1,1) xV1 yV2
Avec :

V1(1,0,2)

et

V2 (0,1,1)

1) Ainsi, un vecteur quelconque de

F1

est combinaison linéaire des vecteurs
V1 et V2

F1 est engendré par ces deux vecteurs.

On a alors :

F1  Vect(V1,V2)

Conclusion :

F1 est donc un sous-espace vectoriel de IR

3

Exercice 3
2) Soit u un vecteur de

forme :

F2 , u est de la

u(x,y,z) avec :

2x 0 et 3yz 0 x 
0
 z 3y








Exercice 3
2) Un vecteur u de F peut donc s’écrire :

2

u (0,y,3y) y(0,1,3)

u yV
Ainsi

avec

V(0,1,3)

F2  Vect(V)

Conclusion :

F2 est donc un sous-espace vectoriel de IR

3

Exercice 3
3) Soit u un vecteur de

forme :

F3 , u est de la

u(x,y,z) avec :

x z 0 et 3yz 0 x  z  z 3y  x  z 3y






Exercice 3
3) Un vecteur u de F peut donc s’écrire :

3

u (3y,y,3y) y(3,1,3)

u yW
Ainsi

avec

W(3,1,3)

F3  Vect(W)

Conclusion :

F3 est donc un sous-espace vectoriel de IR

3

Exercice 3
4) Soit u un vecteur de

forme :

F4 , u est de la

u(x,y,z) avec :  x  y z 0 et 2x  y5z 0 z  x  y z

x

y


2x  y5(x  y) 0 3x 4y 0































1 z x zxy 4
 y 3 x 
3
y

 x 4
4











4) Un vecteur u de F peut donc s’écrire :

4

3
1
3
1
u (x, x, x)  x(1, , )
4 4