Chapitre 2 : le modèle de régression simple

Introduction * Etude de la relation et de la dépendance entre deux variables : une variable explicative, exogène (X) et une variable à expliquer, endogène (Y) * Caractère linéaire (au niveau des coefficients) : modèle linéaire sous la forme d’une équation : linéarité dans les paramètres : Y = aX+b * Modèle aléatoire : terme d’erreur intégré : Y = aX + b + Ԑ

1. Présentation – spécification et hypothèses du modèle

Yt = aXt + b + Ԑt avec t = 1, 2….,N

Ԑt est un terme aléatoire (terme d’erreur ou perturbation).
Il y a N observations sur Y et X

Hypothèse sur Y et X * X est observé sans erreur (certaine, donnée), indépendante de Ԑt * Y est une variable aléatoire par l’intermédiaire de Ԑt, terme aléatoire.

Hypothèses sur Ԑt (hypothèses stochastiques) * Nullité de l’erreur moyenne : E(Ԑt)=0 pour tout t * Absence d’autocorrélation des erreurs : E(ԐtԐt’) = 0 pour tout t ≠ de t’ * Homoscédasticité des erreurs : V(Ԑt) = E(Ԑt2) = σԐ2 pour tout t
Bruit blanc : processus de moyenne nulle, de variance constante et non autocorrélé ≠ l’hétéroscédasticité : V(Ԑt)≠constante. * Ԑt suit une loi normale d’espérance nulle et de variance constante :
Ԑt ~N (0, σԐ2)

2. Estimation des paramètres (MCO)

Principe * Objectif : à partir des observations, quantifier la relation entre X et Y en estimant a et b (paramètres inconnus) * Un nuage de points représente l’ensemble des couples (Xt,Yt) observés (ou réalisés). * La droite des MCO (ou droite de régression ou droite d’ajustement) à travers ce nuage de point, permet de donner une approximation du nuage (ajustement). L’équation de la droite est alors une estimation de la relation considérée.
Equation de la droite : Yt = âXt + b
Avec â et b des estimateurs des paramètres a et b
Et Yt la valeur estimée (ou ajustée) de Yt associée à Xt.
L’écart entre chaque observation du nuage de point et la droite est mesuré par