Travaux Dirig´s de e M´canique des Solides D´formables e e Maˆtrise/Master de M´canique ı e
L. Champaney 10 d´cembre 2003 e
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. Principe des Puissances Virtuelles Tenseur des Contraintes Cercles de Mohr D´formations e Elasticit´ Lin´aire e e R´solution d’un probl`me d’Elasticit´ Lin´aire e e e e Solutions de St Venant Thermo´lasticit´ lin´aire e e e Probl`mes Plans e M´thodes Energ´tiques : Approximation de Solution e e M´thodes Energ´tiques : Th´or`me d’Encadrement e e e e Plasticit´ : crit`res et comportement e e Plaques en flexion Plaques en tension

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UVSQ - Maˆ ıtrise de M´canique - UE1 e

2003/2004

TD - Principe des Puissances Virtuelles

Exercice 1 Application du principe des puissances virtuelles a la th´orie des barres. ` e On se propose de retrouver les r´sultats de la m´canique des barres par la m´thode des puise e e sances virtuelles. Cette m´thode est plus abstraite mais pr´sente l’int´rˆt d’ˆtre plus puissante et de e e ee e mener syst´matiquement a des mod´lisations coh´rentes des d´formations et des efforts int´rieurs e ` e e e e dans les milieux continus. La repr´sentation g´om´trique de la barre est la suivante : la barre est par d´finition un milieu e e e e rectiligne ´lanc´ o` une dimension est tr`s pr´pond´rante devant les deux autres. Il peut donc ˆtre e e u e e e e d´fini par la seule donn´e des points situ´s sur la ligne moyenne. Cet ´l´ment ne fonctionne qu’en e e e ee traction ou en compression. Tous les points de la barre restent sur l’axe AB. Un mouvement virtuel est d´fini par la donn´e de la vitesse virtuelle u∗ (x) en chacun des points de la ligne moyenne. e e

F1 A

dx f(x)dx B

F2 x

1. Rappeler le principe des puissances virtuelles. 2. On consid`re une barre AB, A d’abscisse x1 et B d’abscisse x2 . On note f (x) la densit´ e e lin´ique d’effort exerc´e sur le fil, F1 et F2 les forces exerc´es aux extr´mit´s et g(x) la e e e e e quantit´ d’acc´l´ration lin´ique. e ee e (a)