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Chapitre 8

Diagrammes de Bode
8.1 Rappel théorique
Réponse fréquentielle
La réponse fréquentielle permet d’étudier la sortie d’un système LTI lorsque son entrée est un signal sinusoïdal de fréquence ω. eλt ejωt → → H(s) H(jω) → → H(λ)eλt si λ ∈ ROCh si jω ∈ ROCh

H(jω)ejωt = |H(jω)|ej(ωt+∠H(jω))

avec H(jω) = |H(jω)|ej∠H(jω) . L’intérêt d’étudier |H(jω)| et ∠H(jω) en fonction de ω estdès lors immédiat. Ces études nous amènent à considérer respectivement les diagrammes de Bode en amplitude et en phase. Il est important de remarquer que ces réponses sont caractéristiques du système stable associé à H(s) puisqu’il faut sélectionner la ROC contenant s = jω. Encore que les études temporelle et fréquentielle soient redondantes en théorie, elles sont complémentaires en pratique :certaines caractéristiques du système apparaissent de manière évidente dans l’une ou l’autre des deux études.

Construction générale des diagrammes de Bode
Les diagrammes de Bode comprennent – le diagramme d’amplitude, représentant 20 log10 (|H(jω)|) en fonction de loga (ω) ; – le diagramme de phase représentant ∠(H(jω)) en fonction de loga (ω). Choix de la variable indépendante Concernant la valeurde a > 0, la convention la plus courante consiste à prendre a = 10. Un autre choix courant est a = 2. Cela correspond en fait simplement à une mise à l’échelle linéaire sur l’axe fréquentiel. En effet, considérant la propriété des logarithmes logb (ay ) = y logb (a) pour a, b > 0, le cas particulier y = loga (ω) fournit logb (ω) = loga (ω) logb (a) où logb (a) est une constante. 65

CHAPITRE8. DIAGRAMMES DE BODE En particulier, pour a = 2 et b = 10, on a log10 (2) ≈
6 20 .

66 Ainsi, lorsque |H(jω)| = ω −n , on a

20 log10 (|H(jω)|) = −20n log10 (ω) ≈ −6n log2 (ω) . Cela veut dire qu’une décroissance de −20n dB/décade correspond approximativement à une décroissance de −6n dB/octave. Décomposition d’un système en série de systèmes simples Les diagrammes de Bode de la mise en sériede plusieurs systèmes sont donnés par la somme des diagrammes de Bode respectifs des différents sous-systèmes. En effet, H(s) = H1 (s) H2 (s)... Hn (s) ⇓ 20 log10 (|H(jω)|) = 20 log10 (|H1 (jω)| |H2 (jω)| ... |Hn (jω)|) = 20 log10 (|H1 (jω)|) + 20 log10 (|H2 (jω)|) + ... + 20 log10 (|Hn (jω)|) ∠(H(jω)) = = ∠ e∠H1 (jω) e∠H2 (jω) ...e∠Hn (jω) ∠(H1 (jω)) + ∠(H2 (jω)) + ... + ∠(Hn (jω)) .
1 H1 (s) ,De manière similaire, si H(s) =

on a −20 log10 (|H1 (jω)|) −∠(H1 (jω))

20 log10 (|H(jω)|) = ∠(H(jω)) =

Exemples non-triviaux classiques
Systèmes d’ordre 1 H(s) =
1 τ s+1 , 1 τ réel positif, avec ROC = {s ∈ C : σ > − τ }.

Les diagrammes de Bode exacts correspondant à H(s) sont représentés sur la gauche de la figure cidessous. Les diagrammes de Bode de droite sont des approximationscourantes utilisées dans ce cours : = 0 dB pour ω ≤ 1/τ 20 log10 (|H(jω)|) décroît de − 20 dB/déc. pour ω > 1/τ  pour ω ≤ 1/(10τ )  = 0 = −π/2 pour ω ≥ 10/τ ∠H(jω) (version précise)  décroît de − π/4 rad/déc. pour 1/(10τ ) < ω < 10/τ = 0 pour ω ≤ 1/τ ou ∠H(jω) (version simplifiée) = −π/2 pour ω > 1/τ

CHAPITRE 8. DIAGRAMMES DE BODE

67

20 log(|H(jω)|)
0 dB −20

20 log(|H(jω)|) 0 dB T −20 dB/déc.    E  ω  1
τ

0.1 τ

1 τ

10 τ

ω ∠(H(jω)) ∠(H(jω)) 0T
−π 2 0.1 τ

0
−π 4 −π 2

r

r

rr
1 τ

r r
10 τ

0.1 τ

1 τ

10 τ

ω

E ω

Systèmes d’ordre 2 H(s) =

2 ω0 2 s2 +2ζω0 s+ω0

avec ω0 (fréquence caractéristique) et ζ (facteur d’amortis1− }.
1 ζ2

sement) réels positifs. Les pôles −ζω0 1 ± ROC = {s ∈ C : σ > −ζω0 1 − 1−
1 ζ2

sontdonc bien à partie réelle négative et on prend

Les diagrammes de Bode exacts correspondant à H(s) pour différentes valeurs de ζ sont représentés sur la gauche de la figure ci-dessous. Les diagrammes de Bode de droite sont des approximations courantes utilisées dans ce cours : = 0 dB pour ω ≤ ω0 20 log10 (|H(jω)|) décroît de − 40 dB/déc. pour ω > ω0 √ Il vient éventuellement s’y ajouter un pic...
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