ELT 405 - Traitement du signal - Examen de rattrapage
Juin 2012
Durée : 1h30, documents non autorisés
Exercice 1 (4 points)
Soit le signal x(t) = t[u(t) − u(t − 1] − (t − 2)[u(t − 1) − u(t − 2)]
1- Tracer le signal x(t).
2- En utilisant les propriétés de la TF et le formulaire, trouvez X(f ) la TF de x(t).
Exercice 2 (8 points)

1- Soit un signal réel x(t) à support spectral borné (X(f ) à support borné) dont la fréquence maximale est de fmax . Quelle est la fréquence maximale des signaux suivants : a- dx(t)/dt b- x(t)cos(2πf0 t) c- x(2t) d- x2 (t)
2- Soit h(t) un filtre dont la fonction de transfert est donnée par :
H(s) =

s2

1
+ 1, 14s + 1

a- Quel est le type de ce filtre ? Justifier votre réponse. b- Soit H1 (s) = H( 1 ). Déterminer le type du filtre dont la fonction de transfert est égale à s H1 (s). c- Soit H2 (s) = H(s + 1 ). Déterminer le type du filtre dont la fonction de transfert est égale s à H2 (s). d- Que pouvez-vous conclure ?
Exercice 3 (8 points)
On considère le système LTI discret dont la réponse y(n) à l’éntrée x(n) est donnée par
:
y(n) = ay(n − 1) + x(n) a ∈ R+
(1)
1- Dessiner le schéma fonctionnel du système.
2- Ecriver l’expression de y(n − 1) puis remplacer y(n − 1) dans l’équation (1) par cette expression. Nous appellerons l’expression résulatante "équation (2)".
Ecriver maintenant l’expression de y(n − 2) puis remplacer y(n − 2) dans l’équation (2) par cette expression.
3- Montrer que, si nous continuons le processus de la questions 2, nous obtenons : n−1 n

ak x(n − k)

y(n) = a y(0) + k=0 4- Si nous supposons que la condition initiale y(0) = 0, dessiner le schéma fonctionnel du système. Déduire h(n), sa réponse impulsionnelle.

5- En utilisant l’expression de y(n) donnée par l’éuqation (1), trouver la fonction de transfert en z du système H(z).
6- Déduire alors la transformée en Z inverse de z/(z − a).

Formulaire
Energie, puissance moyenne,...
+∞

+T /2

1
T →+∞ T

|x(t)|2