Emancipation de la femme

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  • Publié le : 30 mai 2010
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PROGRAMMATION LINEAIRE

I – GENERALITES :
La recherche opérationnelle est un ensemble de techniques d’exploration ayant pour but de résoudre les problèmes de décision, aussi bien dans l’entreprise (production, achat, vente, publicité, … etc) qu’au niveau de la nation (importations, exportations, production, infrastructures économiques, … etc) face à des moyens limités ou des potentialités àexploiter.
La programmation linéaire est une des branches de la Recherche Opérationnelle, qui a pour objet la recherche des optima (maxima ou minima) d’une fonction de plusieurs variables, dans le cas où cette fonction (la fonction à optimiser) et les relations entre les variables (c’est-à-dire les contraintes) sont des fonctions linéaires de ces variables.

II - REGIONNEMENT DU PLANExercices : Déterminer graphiquement l’ensemble (ou le domaine) (P) des points M(x ;y) vérifiant :

x  0 ; y  0 x  0 ; y  0 x  0 ; y  0
2x + y  500 x + 0,5y  200 x + 2y  40
1°) x + 3y  600 2°) x + 2y  4003°) 3x + 2y  60
x  200 0,6x + 2y  300 x  5
y  175 y  8

III - MISE EN EQUATION : Variables, Contraintes, Fonction Objectif ou Fonction Economique.

On se donne une fonctionlinéaire de plusieurs variables f(x1 ;x2 ;x3 ;…… ;xn).
Exemple : f(x1 ;x2 ;x3 ) = 5x1 + 3x2 + 9x3 .
Les variables x1 ;x2 ;x3 ;…. ; xn sont appelées variables naturelles ou variables d’action ou encore variables d’activité.
Les variables x1 ;x2 ;x3 ;…. ; xn sont soumises à des contraintes qui sont sous forme d’équations ou d’inéquations. Il y a deux (2) types de contraintes : les contraintes designe ( de la forme : x1  0 ; x2  0 … ; xn  0 ) et les contraintes à caractère économique ( Exemple : 3x1 + 2 x2 + x3  600 ).
En programmation linéaire, les contraintes sont linéaires, c’est-à-dire qu’elles sont sous forme d’inégalité ou d’égalité dont le premier membre est une fonction linéaire des variables x1 ,x2 ,x3 ,…… et xn et le second membre est une constante.
Lorsqu’unecontrainte à caractère économique s’écrit sous forme d’égalité, on dit que cette contrainte est saturée.
La fonction dont on cherche l’optimum sous les contraintes énoncées, est appelée Fonction Objectif ou Fonction Economique.
Les n-uplets (x1 ;x2 ;x3 ;…… ;xn) sont appelés programmes ( de production, de vente, d’achat, .. etc, selon le cas).
L’objectif est donc de trouver le programme optimal,c’est-à-dire le programme qui confère à la fonction objectif, sa valeur optimale (minimale ou maximale), sous des contraintes clairement énoncées.
Le système constitué par la Fonction Objectif (à minimiser ou à maximiser) et les contraintes, est appelé Modèle ou Programme linéaire.


Exemple : Max [Z= 2000x1 + 5000x2 ]
x1  0 ; x2  00,2 x1 + 0,4 x2  160
x1  400
x2  300

N.B. Ecrire un programme linéaire (ou un modèle) sous sa forme canonique, c’est traduire l’énoncé du problème sous forme de fonction Objectif ( à minimiser ou à maximiser) et de contraintes.
Exemple 1 : Unerestauratrice dispose, un jour, de 75 poissons et de 60 escargots. Elle sert des plats de :
- 500 F contenant chacun 1 poissons et 2 escargot
- 1000 F contenant chacun 3 poissons et 5 escargots.
Ecrire le programme linéaire (en d’autres termes, donner la forme canonique du programme linéaire) dont la résolution permettrait de déterminer le nombre de plats de chaque type que doit servir la...
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