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ENS Ulm-Lyon 2000
Soit f une fonction dans C ∞ (Rd , Rd ) (d´finie sur Rd et ` valeurs dans Rd ). L’objet de ce probl`me est l’´tude de propri´t´s e a e e ee qualitatives du syst`me d’´quations diff´rentielles e e e (E)
dx (t) = f (x(t)) dt

o` x est une fonction d´finie sur un intervalle de R ` valeurs dans Rd . La norme euclidienne usuelle de Rd sera not´e . u e a e et B(x, r) d´signera laboule ouverte de centre x et de rayon r. On notera Re z la partie r´elle du nombre complexe z. La e e diff´rentielle de f en un point x0 ∈ Rd sera not´e df (x0 ). Soit x0 ∈ Rd et trois r´els t1 < t0 < t2 . On dira qu’une solution e e e x ∈ C 1 ([t1 , t2 ], Rd ) de (E) passe par x0 ` l’instant t0 si x(t0 ) = x0 . Une solution x(t) de (E) sera aussi appel´e trajectoire a e de (E). On admet le th´or`mede Cauchy-Lipschitz (avec d´pendance C ∞ en les donn´es initiales), qu’on utilisera sans e e e e d´monstration : e Th´or`me de Cauchy-Lipschitz. Soit f ∈ C ∞ (Rd , Rd ) et t0 ∈ R, x0 ∈ Rd . Alors il existe τ > 0 et r > 0 et une fonction e e ϕ(t, y) de classe C ∞ , d´finie sur ]t0 − τ, t0 + τ [×B(x0 , r), ` valeurs dans Rd , telle que e a ∂ϕ ϕ(t0 , y) = y et (t, y) = f (ϕ(t, y)) ∂t pour tout (t, y)∈]t0 − τ, t0 + τ [×B(x0 , r). On rappelle d’autre part qu’il existe une unique solution maximale x(t) de (E) passant par x0 en t0 . Cette solution est d´finie sur un intervalle ouvert ]a, b[ avec a < t0 < b et si b < +∞ (respectivement a > −∞) alors Sup x(t) = +∞ e
t∈[t0 ,b[

(respectivement Sup
t∈]a,t0 ]

x(t) = +∞).

Un point x0 ∈ Rd est dit point critique de f si f (x0 ) = 0. D´finition 1(stabilit´ d’un point critique). Un point critique x0 est dit stable s’il existe η > 0 tel que, pour tout e e x1 ∈ B(x0 , η), il existe une solution x(t) de (E) d´finie pour tout t 0 v´rifiant x(0) = x1 et e e lim x(t) − x0 = 0 .
t→+∞

Un point critique est dit instable s’il n’est pas stable. Une solution x(t) de (E) est dite p´riodique si elle est d´finie pour tout t ∈ R et s’il existe T > 0 telque x(t + T ) = x(t) e e pour tout t ∈ R. Soit 1 C = {x ∈ R / 2 |x| 1} . On dit que C est absorbante pour f ∈ C ∞ (R2 , R2 ) si f (x).x < 0 pour tout x ∈ R2 tel que |x| = 1 et si f (x).x > 0 pour tout x ∈ R2 tel que |x| = 1/2. La premi`re partie du probl`me ´tablit quelques propri´t´s de stabilit´ des points critiques. La seconde partie esquisse une e e e ee e classification topologique des pointscritiques. La troisi`me partie est consacr´e ` la preuve du th´or`me suivant : e e a e e Th´or`me de Poincar´-Bendixson. Soit f ∈ C ∞ (R2 , R2 ). On suppose que C est absorbante pour f et que f n’a pas e e e de points critiques dans C. Alors il existe une solution p´riodique x de (E), non constante, avec x(t) ∈ C, pour tout t ∈ R. e Les parties 2 et 3 sont ind´pendantes. e

Partie I : Stabilit´ depoints critiques e
Soit dans cette partie f ∈ C ∞ (Rd , Rd ) (avec d 2) telle que f (0) = 0. 1o) On suppose dans cette question que les parties r´elles des valeurs propres de df (0) sont strictement n´gatives. Soit λ0 e e la plus grande des parties r´elles des valeurs propres de df (0). e a) Montrer que pour tout λ > λ0 il existe un produit scalaire hermitien sur Cd , not´ , tel que e Re< df(0)x|x> λ . On pourra commencer par le cas df (0) diagonalisable (dans C), avant de traiter le cas o` df (0) est trigonalisable. u b) Montrer que pour tout λ > λ0 il existe un produit scalaire euclidien (toujours not´ ) et un r´el σ > 0 tel que e e λ pour tout x tel que x σ. c) En d´duire que 0 est stable. Montrer que pour tout λ > λ0 , x(t) = O(exp(λt)) quand t −→ +∞. Montrer par un e exemple quel’on n’a pas n´cessairement x(t) = O(exp(λ0 t)) quand t −→ +∞. e 2o) On suppose dans cette question que les parties r´elles des valeurs propres de df (0) sont strictement positives. Montrer e que 0 est un point critique instable. 3o) Montrer par des exemples que si les valeurs propres de df (0) sont imaginaires pures, alors on ne peut conclure ni ` la a stabilit´ ni ` l’instabilit´ de 0. e a e...
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