Epreuve de maths bac

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Durée : 4 heures

Baccalauréat S Centres étrangers 15 juin 2007

4 points E XERCICE 1 Commun à tous les candidats Pour chacune des questions de ce QCM une seule, des trois propositions A, B ou C est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0, 5 point .(Une réponse inexacte enlève 0, 25 point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif la note de l’exercice est ramenée à 0. Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher, 5 sont rouges et 3 sont noires. 1. On tire au hasard simultanément 3 boules de l’urne. a. La probabilité de tirer 3 boules noires est : 1 1 1 A B C 56 120 3 b. La probabilité de tirer 3boules de la même couleur est : 11 16 11 B. C. A. 56 120 24 2. On tire au hasard une boule dans l’urne, on note sa couleur, on la remet dans l’urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs et deux à deux indépendants. a. La probabilité d’obtenir 5 fois une boule noire est : 3 3 3 3 3 5 1 5 A. × B. C. 8 8 8 5 b. La probabilité d’obtenir 2 boules noires et 3 boules rouges est : 5 3 3 5 3 3 2 5 3 2A. C. 10 × × B. 2 × + 3 × × 8 8 8 8 8 8 3. On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne. On note : – R1 l’évènement : « La première boule tirée est rouge » ; – N1 l’évènement : « La première boule tirée est noire » ; – R2 l’évènement : « La deuxième boule tirée est rouge » ; – N2 l’évènement : « La deuxième boule tirée est noire ». a. La probabilité conditionnelle P R1 (R2 )est : 4 5 5 B. C. A. 8 7 14 b. La probabilité de l’évènement R1 ∩ N2 est : 16 15 15 A. B. C. 49 64 56 c. La probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage est : 5 3 5 B. C. A. 8 7 28 d. La probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage sachant qu’on a obtenu une boule noire au second tirage est : 3 5 15 B. C. A. 56 8 7 E XERCICE 2 Réservé aux candidats n’ayant pas suivil’enseignement de spécialité I. Restitution organisée de connaissances 5 points

Baccalauréat S

2. Démontrer qu’un nombre complexe z est réel si et seulement si z = z.

1. Démontrer qu’ un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si z = −z.

3. Démontrer que pour tout nombre complexe z, on a l’égalité : zz = |z|2 .

→ → − − Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal direct O,u , v . On se propose de démontrer, à l’aide des nombres complexes, que tout triangle de sommets A, B, C, deux à deux distincts, d’affixes respective a, b, c, et dont le centre du cercle circonscrit est situé à l’origine O, a pour orthocentre le point H d’affixe a + b + c. Il. Étude d’un cas particulier On pose : a = 3 + i, b = −1 + 3i, c = − 5 − i 5.

1. Vérifier que O est le centre du cerclecirconscrit au triangle ABC.

2. Placer les points A, B, C et le point H d’aflixe a + b + c, puis vérifier graphiquement que le point H est l’orthocentre du triangle ABC. III. Étude du cas général. ABC est un triangle dont O est le centre du cercle circonscrit, et a, b, c sont les affixes respectives des points A, B, C. 1. Justifier le fait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si etseulement si : aa = bb = cc. 1. On pose w = bc − bc. a. En utilisant la caractérisation d’un nombre imaginaire pur établie dans le I., démontrer que w est imaginaire pur. b +c w . = b. Verifier l’égalité : (b + c) b − c = w et justifier que : b − c |b − c|2 b +c est imaginaire pur. c. En déduire que le nombre complexe b −c 2. Soit H le point d’affixe a + b + c. −→ −→ − − a. Exprimer en fonction dea, b et c les affixes des vecteurs AH et CB . π −→ −→ − − b. Prouver que CB , AH = + kπ, où k est un entier relatif quelconque. 2 π −→ −→ − − (On admet de même que CA , BH = + kπ). 2 c. Que représente le point H pour le triangle ABC ?

E XERCICE 2 Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

5 points

→ → − − Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct...
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