X 2000 option PC : Math2
Premi`re partie e 1. a) classique : l’existence de la borne sup´rieure ´tant a justifier avec la continuit´ de V → XV sur la e e ` e sph`re unit´. e e b) Pour tout V ∈ Rn, XY V ≤ N (X) Y V ≤ N (X)N (Y ) V . Par comparaison d’un majorant et de la borne sup´rieure, on d´duit que N est une norme d’alg`bre. e e e Si n ≥ 2, consid´rons la matrice X dont tous les coefficients valent 1 ; e elle v´rifie N∞ (X 2 ) = n > N∞ (X)2 = 1. e Si n = 1, N∞ co¨ ıncide avec N c’est-`-dire la fonction valeur absolue. a Ainsi, N∞ est une norme d’alg`bre uniquement lorsque n = 1. e 2. a) Le d´terminant s’exprimant a l’aide de sommes, diff´rences de produits des coefficients de la matrice, e ` e l’application det est continue sur Mn (R) . Par cons´quent, la suite (det(Xp ))p tend vers det(X) = 0 ; e il existe donc un rang a partir duquel les det (Xp ) sont non nuls. ` −1 −1 b) En remarquant que X −1 (X − Xp ) Xp = Xp −X −1 et en utilisant l’in´galit´ du 1.b) , on d´duit : e e e
−1 Xp V − X −1 V

=

≤ N X −1 )N (X − Xp )

−1 Xp − X −1 V

≤ N X −1 (X − Xp )
−1 Xp V

−1 Xp V

Puisque la suite (N (X − Xp ))p tend vers 0 , il existe un entier p0 tel que ∀p ≥ p0 N (X − Xp ) ≤ 1 . 2N (X −1 ) 1 −1 Xp V 2

L’in´galit´ de la question pr´c´dente fournit ensuite : e e e e ∀p ≥ p0 puis, ∀p ≥ p0
−1 Xp V −1 Xp V

≤ X −1 V

−1 + Xp V − X −1 V

≤ X −1 V

+

≤ 2 X −1 V .

Remarque : l’´nonc´ aurait dˆ demander une constante C ind´pendante de V , ce qui est essentiel e e u e pour la suite. c) La constante C = 2 trouv´e ci-dessus ´tant ind´pendante de p et de V , on a pour p ≥ p 0 e e e ∀V ∈ Rn
−1 Xp − X −1 V

≤ CN X −1 N (X − Xp ) X −1 V
2

≤ CN X −1

2

N (X − Xp ) V . o` u

On en d´duit, que le r´el CN X −1 e e V ∈ R \ {0} ce qui livre : ∀p ≥ p0 D’o` le r´sultat demand´. u e e n N (X − Xp ) majore l’ensemble des
2

−1 Xp − X −1 V V

−1 N Xp − X −1 ≤ CN X −1

N (X − Xp ) −→ 0. p→+∞ 3. Remarque pr´liminaire : une matrice X poss´dant la propri´t´ (P ), v´rifie les in´galit´s (∗) suivantes