Equa diff suite

Object 1

Deux cas sont étudiés : y' = ay et y' = ay + b où a et b sont des constantes réelles données.
Ce sont des cas particuliers d'équations linéaires du 1er ordre. Les solutions sont respectivement : y = keax et y = keax -b/a
On étudie ici le cas général. La fonction exponentielle correspondant à y' = y et y(0)
= 1 étant supposée connue, par exemple en tant que fonction réciproque de la fonction logarithme népérien ou en tant que fonction f, non nulle, dérivable sur R, telle que f(x + y) = f(x) f(y) et f(0) = (0) :
Les fonctions x a(x), x b(x) et x c(x) étant continues sur un intervalle J de R, l'équation différentielle linéaire (par rapport à y et y') du premier ordre s'écrit sous la forme : a(x).y' + b(x).y = c(x) , x

J

(e)

• Le cas y' = ay correspond à a(x) = 1, b(x) = - a, c(x) = 0 pour tout x.

et se résout facilement si l'on en connaît une solution particulière. En effet, soit y o une solution de (e). Par différence et en posant Y = y - yo, on obtient : a(x).Y' + b(x).Y = 0

(h)

Une telle équation est dite sans second membre ou, parfois, homogène : le second membre est nul.
Un point important : on peut supposer maintenant que x a(x) ne s'annule pas sur tout un sous-intervalle J' de J : l'équation ne serait plus différentielle sur J'... Les cas où a(x) = 0 pour des valeurs isolées de x se traitent en revenant à l'équation initiale : b(x)y = c(x). Donc, quitte à décomposer J en une réunion finie ou dénombrable d'intervalles sur lesquels a(x) est non nul, on peut supposer a(x) non nul sur J.
L'équation sans second membre (h) peut se résoudre par quadrature car l'on peut séparer les variables x et Y en écrivant, sous la condition Y(x) non nul en tout point de J :
Y'/Y = -b(x)/a(x)
Si f(x) désigne une primitive de -b(x)/a(x), on a successivement ln |Y| = f(x) + C, ln désignant le logarithme népérien . Puis |Y| = ef(x) + C = eCef(x) avec C une constante arbitraire. La solution générale de (h)