Equations différentielles partielles
Equipe 7376
Equation de transport avec conditions aux limites périodiques
Equipe 7376: KHALIL Youness 12 novembre 2012
EDP et diérences nies
de
l'équation de transport
Le présent Tp permet de décrire et étudier plusieurs méthodes numériques de résolution .
Cette dernière se présente de la façon suivante :
∂t u + c∂x u = 0
∀(x, t) ∈ R∗]0, T [
Avec
u(x, 0) = u0(x)
∀x ∈ R
Remarques générales
Pour chacun des schémas proposés, on essayera de donner les résultas théoriques liées à la stabilité et à la consitance, ces résultats seront suivis par des observations pratiques issues de l'implémentation du chier tp1.m qui sera fourni avec le présent rapport. Dans toutes les gures inclues dans ce rapport, la courbe en bleu, représente la solution absolue et celle en rouge représente le modèle étudié. Les calculs ne sont détaillés que dans quelques schémas, pour les autres, on s'est contenté de donner directement les résultats théoriques. Pour la condition initiale, on s'est contenté d'utiliser une parmi celles données. Une comparaison entre les schémas les plus signicatifs sera faite à la n du rapport.
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Tp1
Equipe 7376
1.
Question 1 - Dans cette première question, on traîte le schéma d' dont l'implémentation a été donné dans le chier tp1.m.
Euler explicite
Il s'agit du schéma suivant : un+1 −un j j δt
+c
un −un j+1 j−1 2δx
=0
i.e
un+1 = un − 0.5λ(un − un ) j j+1 j−1 j
Ordre de Consistance : Ce schéma est d'ordre 1 en temps et 2 en espace.
En eet, On a :
∂x u(x, t) =
De plus, Ainsi L'Erreur de troncature est :
u(x+δx,t)−u(x−δx,t) 2δx u(x,t+δt)−u(x,t) δt
+ O(δx2 )
∂t u(x, t) =
+ O(δt)
n Ej = O(δx2 + δt)
Stabilité L2 : On utilise la méthode de Von Neuman : On trouve après calcul :
A(k) = (1 − iλ sin(k)) i.e |A(k)|2 = 1 + (λ sin(k))2 avec k = 2πνδx.
Le terme A(k),en module, est toujours supérieur à 1 , par conséquent Ce shèma est