Sixième Leçon

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

I - Préambule
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction dérivable sur un intervalle de R. Elle fait intervenir la fonction-inconnue notée y, ses dérivées successives notées y ′ , y ′′ , · · · et des fonctions connues. Par exemple, considérons l’équation différentielle (E) : y ′′ − 2y ′ + y = x2 1. Montrez que la fonction f définie sur R par f (x) = x2 + 4x + 6 est une solution de (E). 2. Montrez que f est la seule fonction polynômiale du second degré solution de (E). 3. Montrez que la fonction g définie sur R par g(x) = (2x − 5)e x + x2 + 4x + 6 est une autre solution de (E). 4. Montrez que la fonction h définie sur R par h(x) = (32x − 80)e x + x2 + 4x + 6 est aussi solution de (E).

II - Résolution de l’équation y′ = ay
Il s’agit donc ici de déterminer toutes les fonctions f dérivables sur I telles que, pour tout x de I f ′ (x) = af (x) – Supposons qu’il existe une solution y et posons z(x) = e −ax y(x). Calculez z ′ (x). Qu’en déduisez-vous sur z ? sur y ?. – La démonstration précédente suppose qu’il existe une solution au problème. Est-on sûr qu’une telle solution existe (dans le cas contraire, nous serions bien embêtés car notre démonstration ne vaudrait plus rien) ? Pouvez-vous trouver une solution particulière au problème ?

Théorème 1 : solutions de y′ = ay
Les fonctions solutions de l’équation différentielle y ′ = ay (avec a un réel donné) sont les fonctions x → λe ax où λ est une constante arbitraire.

Vous aurez donc remarqué qu’il existe une infinité de fonctions vérifiant cette équation différentielle si on ne donne pas d’autre précision. Exercice 6- 1 1. Résolvez par exemple l’équation (E1 ) : 3y ′ + 2y = 0 et tracez plusieurs solutions sur l’écran de votre calculette.

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III -. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION Y′ = AY + B

2. Résolvez cette même équation sachant maintenant que y(0) = 32. 3. Donnez également une solution (non identiquement nulle...) pour chacune des