MEMOIRE de DISTRIBUTION

Une application physique de l’intégrale de Fourier :

Résolution de l’équation de la chaleur.

Sous la direction de Mr BALLY

Sommaire :

I) Introduction.

II) Notions d’algèbre et d’équation de convolution.
Transformée de Fourier d’une fonction tempérée.

A) Algèbre et équation de convolution.

1) Rappel : définition de la convolution dans D'+.

2) Rappel : algèbre de convolution .

3) Rappel : dérivée de la convolution .

4) Equation de convolution.

B) Transformée de Fourier d’une fonction tempérée.

1) Transformée de Fourier d’une fonction de S .

2) Transformée de Fourier d’une fonction tempérée.

3) Dérivation et transformée de Fourier.

4) Transformée inverse de Fourier d’une fonction tempérée.

5) Exemple de transformée de Fourier.

III) Résolution de l’équation de la chaleur.

A) Transformation de l’équation en équation différentielle au sens des distributions.

1) Dérivation au sens de distributions

2) Passage à l’image de Fourier.

B) Résolution de l’équation différentielle au sens des distributions.

1) Transformation de l’équation en équation de convolution.

2) Résolution de l’équation de convolution.

3) Inversion de la transformée de Fourier pour avoir la solution finale.

4) Remarques sur la solution.

IV) Conclusion

I Introduction

Considérons une barre de longueur illimitée, dans laquelle le chaleur est susceptible de se transmettre seulement par conduction.

 La chaleur spécifique linéaire est c (capacité calorifique par unité de longueur) ;
 la conductibilité calorifique est , ce qui signifie que si, en un point d’abscisse x, le gradient de température est , la quantité de chaleur qui franchit le point x, de gauche à droite par unité de temps, est -.
 Enfin on suppose que des sources de chaleur sont disposées le long de la barre ; on dira que la densité de source de chaleur est (x, t) ( est de signe quelconque) en un point x à un