Équations du troisième degré par Z, auctore
L’objet de cet article est d’exposer deux méthodes pour trouver des solutions à une équation du troisième degré : la recherche de racines évidentes d’une part, et la formule de Cardan d’autre part. La première méthode est accessible en 1re S, la deuxième concerne davantage la Terminale S.

1. Recherche de racines évidentes. Dans cette section, on traite trois exemples d’équations du troisième degré sans utiliser de formule spéciale pour en trouver les solutions. C’est en remarquant que, si le nombre u est solution de an xn + · · · + a1 x + a0 = 0, alors on en déduit u(an un−1 + · · · + a1 ) = −a0 .
Si les coefficients an , . . . ,a0 et u sont des nombes entiers, cela signifie que u est un diviseur du terme constant a0 . Donc si une équation polynomiale à coefficients entiers possède des solutions en nombres entiers, celles-ci sont à chercher parmi les diviseurs du terme constant du polynôme.
Exemple 1. Soit l’équation
(1)

x3 − 4x2 − 7x + 10 = 0,

dont on cherche toutes les solutions réelles. On pose
P (x) = x3 − 4x2 − 7x + 10.
Le problème consiste à trouver toutes les racines, s’il en existe, du polynôme P , qui est du troisième degré. La première des choses à faire est de procéder à des essais numériques : c’est la recherche de racines évidentes. Les racines en nombres entiers d’une équation unitaire sont à chercher parmi les diviseurs du terme constant, ici 10. Il est donc inutile de tester des valeurs comme 3 ou 4, puisque les seules possibilités en nombres entiers sont
±1, ±2, ±5 et ±10.
On constate en substituant, que l’on a seulement
P (1) = P (−2) = P (5) = 0.
Les nombres 1, −2 et 5 sont donc des racines de P c’est-à-dire des solutions de l’équation
P (x) = 0. Le théorème de factorisation1 des polynômes montre que l’on a
P (x) = (x − 1)(x + 2)(x − 5).
1. Un nombre u est racine d’un polynôme f lorsqu’un autre polynôme g permet d’écrire f (x) = (x − u)g(x).

Équations du troisième degré

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Donc la