Chapitre 1
Espaces vectoriels

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CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS

Dans tout ce chapitre K est le corps de base, il d´signe soit le corps des e r´els R soit le corps des complexes C. e 1.1

G´n´ralit´s e e e D´finition. (Espace vectoriel) On appelle espace vectoriel sur un corps K e tout ensemble E muni de deux lois + et · v´rifiant : e 1. (E, +) est un groupe commutatif (cad, + est une loi interne qui est associative, poss´dant un ´l´ment neutre, et tel que tout ´l´ment a un e ee ee inverse),
2. pour tout (λ, µ) dans K2 , pour tout x dans E, λ · (µ · x) = (λµ) · x et
1 · x = x,
3. · distributive par rapport ` + dans E et par rapport ` + dans K. a a

Exemples :
– Rn et Cn sont des espaces vectoriels quelque soit l’entier n. Ce sont des espaces vectoriels de dimension finie.
– L’ensemble C 0 ([0, 1], R) des fonctions continues de [0, 1] dans R est un espace vectoriel. Plus g´n´ralement, soit X inclus dans un K-espace vece e toriel, E un K-espace vectoriel, alors l’ensemble F(K, E) des fonctions de K dans E est un K-espace vectoriel.
– RN , l’ensemble des suites r´elles, est un R-espace vectoriel. e – R[X], l’ensemble des polynˆmes a coefficients r´els, est un R-espace o ` e vectoriel.
D´finition. (Sous espace vectoriel) Soit E un espace vectoriel. On dit que F e est un sous-espace vectoriel de E, si c’est un espace vectoriel et que F ⊂ E.
Exemple : R2 est un sous-espace vectoriel de R3 .
Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, il suffit souvent de montrer que c’est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel connu. Pour cela, on utilise le th´or`me suivant. e e
Th´or`me. (Caract´risation des sous-espaces) Soit E un espace vectoriel. e e e Soit F un ensemble tel que :
i) F ⊂ E, ii) 0E ∈ F , iii) ∀(α, β) ∈ K2 , ∀(x, y) ∈ F 2 , αx + βy ∈ F
Alors F est un espace vectoriel, c’est un sous-espace vectoriel de E.

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1.2. FAMILLES LIBRES, GENERATRICES, BASES

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Remarque : Pour savoir, si