Exercices Corrig´s e Premi`res notions sur les espaces vectoriels e Exercice 1 – On consid´re le sous-espace vectoriel F de R4 form´ des solutions du syst`me e e e suivant : x1 − x2 − x3 + 2x4 = 0 (E1 )
(∗)
x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0 (E2 ) .
1) En r´solvant ce syst`me suivant l’algorithme du cours, donner une base de F . Quelle est la e e dimension de F ?
2) Soit u = (−4, −1, 3, 3) et v = (−3, −3, 6, 3). Montrer que u et v appartiennent a F. Quelles
`
sont les coordonn´es de u et v dans la base d´termin´e a la question 1. En d´duire que (u, v) e e e ` e est une base de F .
Exercice 2 – Soit B = (e1 , e2 , e3 ) une base d’un R-espace vectoriel E.
1) Montrer en utilisant la d´finition que B = (e1 + e2 + e3 , e2 + e3 , e3 ) est une base de E. e Pourquoi aurait-il ´t´ suffisant de montrer que la famille (e1 + e2 + e3 , e2 + e3 , e3 ) ´tait libre ou ee e g´n´ratrice ? e e
2) Quelle est la matrice P de passage de la base B a la base B ? Calculer P −1 .
`
En d´duire les coordonn´es dans la base B d’un vecteur de coordonn´es (x1 , x2 , x3 ) dans la e e e base B. En d´duire les coordonn´es de e1 , e2 et e3 dans la base B ? e e
Exercice 3 – On consid´re le sous-espace vectoriel F e suivant :

 x1 + 2x2 + x3 + x4 =

x − x2 − x3 + 2x4 =
(∗)
 1

2x1 + x2
+ 3x4 =

de R4 form´ des solutions du syst`me e e
0 (E1 )
0 (E2 )
0 (E2 ) .

D´terminer une base de F . e Exercice 4 – Soit E un R espace vectoriel de base (e1 , e2 ). On pose u1 = e1 +e2 et u2 = e1 −e2 .
1) Montrer par deux m´thodes que la famille (u1 , u2 ) est une base. e 2) Exprimer par deux m´todes e1 , puis e2 comme une combinaison lin´aire de u1 , u2 . e e
3) Si un vecteur u de E a pour coordonn´es (A, B) dans la base (u1 , u2 ), quelles sont les coore donn´es (a, b) de u dans la base (e1 , e2 ) et inversement ? e Exercice 5 – On consid´re le sous-espace vectoriel F1 de R4 form´ des solutions du syst`me e e e suivant : x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0 (E1 )