Espaces vectoriels et applications lin´aires e

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D´finitions e On parle d’espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les d´finitions sont les e mˆmes en substituant R ` C ou vice versa. e a
D´finition 1.1. Un espace vectoriel sur R (resp. sur C) est un ensemble E muni de deux e op´rations. e D’abord d’une addition, c’est ` dire qu’` tout couple v, w ∈ E on peut associer v + w ∈ E a a tel que les r`gles de calcul ordinaires dans Rn (resp. Cn ) aient lieu. A savoir e • (u + v) + w = u + (v + w) pour tous u, v, w ∈ E;
• u + v = v + u pour tous u, v ∈ E;
• u + v = v + u pour tous u, v ∈ E;
• il existe un ´l´ment not´ 0E tel que u + 0E = u pour tout u ∈ E; pour tout u ∈ E il ee e existe un ´l´ment v ∈ E tel que u + v = 0E . ee De plus il existe une application de R × E −→ E not´e (λ, v) −→ λ.v, telle que pour tout e λ, µ ∈ R (resp. C) et v, w ∈ E on ait
• 1.v = v;
• (λ + µ).v = λ.v + µ.v;
• λ.(µ.v) = (λµ).v;
• λ.(v + w) = λ.v + λ.w.
Dans la suite λ.v sera not´ λv pour simplifier. e Les ´l´ments de R ou C sont appel´s les scalaires, les ´l´ments de E les vecteurs. La ee e ee seconde op´ration est la multiplication par les scalaires. e Le vecteur 0E est appel´ le vecteur nul, il sera not´ 0 simplement, on fera attention ` ne e e a pas le confondre avec 0 ∈ R ou 0 ∈ C. On a 0E .v = 0E (0v = 0 avec les notations all´g´es. e e
On le montre en observant que v = 1.v = (1 + 0).v = 1.v + 0.v = v + 0.v, soit v = v + 0.v puis en simplifiant. le vecteur v tel que u + v = 0 est appel´ l’oppos´ il est not´ −u car il est ´gal ` (−1)u. e e e e a Voici des exemples.
1. Si on consid`re Rn (resp. Cn ) en prenant pour addition l’addition terme ` terme e a
: (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) et pour multiplication par les scalaires λ(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn ) on constate qu’on a un espace vectoriel.
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2. L’ensemble des fonctions F(A, R) d’un sous-ensemble A de R